Escher i teselacije

Unatoč tome što se čine tako razdvojeni, matematika i umjetnost imaju dugu zajedničku povijest koja datira još iz doba starih Egipćana i Grka. U tom vremenskom periodu naglasak je stavljen na proučavanje geometrije i proporcija od strane umjetnika koji su težili ljepoti i savršenstvu što se najbolje može uočiti u arhitekturi – zlatni rez. On je predstavljao božanski, najsavršeniji rez, harmoniju preciznosti i nesavršenosti.

Geometrija i proporcija ostali su jedini matematički pojmovi koje su umjetnici često koristili do 20. stoljeća kada je došlo do iznimno velikog interesa umjetnika za matematiku ali i matematičara zainteresiranih za umjetnost. Svakako jedan od primjera matematike u umjetnosti nalazi se u radovima Mauritsa Cornelisa Eschera.

Escher je inspiraciju za svoje radove pronašao na svom putovanju Mediteranom 1936. u palači Alhambra gdje se je oduševio raznim uzorcima i simetrijom. Mnogi su vjerovali da se je počeo baviti uzorcima zbog matematike, no prava istina je da je Alhambra ta od koje je prvo počeo kopirati, a potom i sam razvijati svoje uzorke.

Bio je fasciniran „nemogućim strukturama”, beskonačnošću, simetrijom, perspektivom, odrazima i teselacijama te je imao istančan ukus za detalje a ideje je za svoje projekte vukao iz matematike.

Teselacije su ponavljajući uzorci oblika koji su međusobno isprepleteni te popunjavaju ravninu potpuno bez praznina i preklapanja. One se mogu naći svuda oko nas - struktura košnice, oklop kornjače, različiti uzorci na koži reptila, popločeni trgovi, u umjetnosti iz drevne arhitekture do modernog doba, u računalnoj grafici, optici, kristalografiji, društvenim i računalnim igrama.

Ima mnogo načina izrade teselacija a najčešće se koriste metode translacije, rotacije, osne simetrije te kombinacija svih navedenih.

 U daljnjem tekstu opisati ćemo po koracima kako možemo izraditi teselaciju. Za izradu teselacije potreban je geometrijski lik kojem su stranice usporedne i/ili jednakih duljina.

Koraci izrade (na primjeru kvadrata, slike postupka su gore redoslijedom):

1.     Uzeti post-it papirić i odrediti polovišta stranica kvadrata.

2.     Od „lijevog i desnog” polovišta uzeti po pola centimetra gore i dolje te opisati lukove šestarom na način da jedan dio luka siječe polovište „gornje/donje” stranice kvadrata a drugi dio siječe novo dobiveno područje pola centimetra od polovišta.

3.     Izrezati dijelove omeđene lukovima te izrezane dijelove rotirati i zalijepiti na lijevu stranicu kvadrata tako da se ravni rubovi poklapaju.

4.     Na donjoj stranici novog lika (dio kvadrata i rotiranog dijela) nacrtati dužine tako da tvore trokut sa ravnim rubom te iste stranice. Izrezati trokut i translatirati ga na vrh novog lika po ravnim rubovima.

 5.     Dobiveni oblik smjestimo na sredinu bijelog papira te ga nacrtamo prateći linije dobivene „šablone”. Lik translatiramo „lijevo/desno/gore/dolje” sve dok ne ispunimo cijeli papir.

 6.     Budite maštoviti :)

Ivo Žikić, prof.