Search

Pripremamo studente za ispite na svim fakultetima

Pripremamo studente za ispite na svim fakultetima

Uz stručne online instrukcije i rješavanje zadataka položite ispite pred sobom!

Odaberite grupne ili individualne pripreme po cijenama od 25 do 75 kuna po satu!

Naruči instrukcije

Pripreme
za maturu 2022.

Pripreme za maturu 2022.

Priprema za državnu maturu iz matematike - A i B razina

Odaberite grupne ili individualne pripreme po cijenama od 25 do 75 kuna po satu!

Saznaj više

Vjerojatnost preživljavanja vrste

Vjerojatnost preživljavanja vrste

 

Primjer: Duže vrijeme promatramo neku populaciju gljiva koja se razmnožava nespolno te smo došli do saznanja da svaka gljiva ima 0 potomaka s vjerojatnošću 1/12, jednog potomka s vjerojatnošću 2/3 te dva potomka s vjerojatnošću 1/4. Odredite vjerojatnost izumiranja populacije gljiva koja starta s jednim predstavnikom (kao na naslovnoj slici) te odredite očekivani broj gljiva u n-toj generaciji.

Rješenje: Očekivani broj potomaka jedne gljive računamo množeći broj potomaka s vjerojatnošću da se taj broj potomaka realizira i on je jednak 0*(1/12)+1*(2/3)+2*(1/4) odnosno 7/6 u našem slučaju. Uočimo da je dobijeni broj strogo veći od 1 što nam je bitno jer to znači da je vjerojatnost izumiranja populacije gljiva strogo manja od 1. (da smo dobili da je očekivani broj potomaka jedne gljive manji ili jednak 1 vjerojatnost izumiranja bi bila 100%). Sljedeći korak je riješiti jednadžbu P(s)=s, a njeno najmanje rješenje biti će naša tražena vjerojatnost izumiranja, pri čemu je P(s) funkcija izvodnica koju definiramo vrlo jednostavno. U našem slučaju postoje tri mogućnosti: 0, 1 ili 2 potomka, pa stoga kreiramo s na nultu, s na prvu i s na drugu. Njih pomnožimo s pripadnim vjerojatnostima te dobijamo redom 1/12, (2/3)*s i (1/4)*s^2. Sumiranjem tih izraza dobijamo funkciju izvodnicu tj. P(s)=1/12+(2/3)*s+(1/4)*s^2. Rješajemo jednadžbu P(s)=s:

1/12+(2/3)*s+(1/4)*s^2=s

Njena rješenja su redom: s1=1/3 i s2=1. Kao što smo napomenuli, uzimamo manje rješenje, a to je jedna trećina.

Dakle, vjerojatnost izumiranja ove populacije gljiva iznosi 1/3.

 

Prelazimo na drugi dio zadatka. Očekivani broj gljiva u n-toj generaciji računamo tako da potenciramo na n-tu očekivani broj potomaka jedne gljive, pa je rješenje (7/6)^n.

Svrha zadatka: Osim što smo naučili kako računati vjerojatnost izumiranja neke populacije ili kulture, cilj ovog teksta je i definirati naš pogled prema pandemiji Corona virusa. Naime, zarazu možemo modelirati slično kao u Primjeru. Krećemo od jednog čovjeka koji je zaražen i izračunamo očekivani broj ljudi koje će on zaraziti - označimo ga s „m“. Tada je očekivani broj zaraženih u n-toj generaciji jednak m^n. Uočimo da je to eksponencijalna funkcija i da vrijedi sljedeće: Ukoliko je m<1 onda vrijednost izraza m^n teži u nula kako n raste, a ukoliko je m>1 onda vrijednost izraza m^n teži u beskonačno. U prijevodu, ukoliko je m<1 virus će izumrijeti i pandemija će se okončati, a ukoliko je m puno veći od 1 virus će se raširiti gotovo svugdje i svaka osoba će biti zaražena.

Upravo to je razlog nošenja maski i svih mjera koje su na snazi, kao i krilatice „Budimo odgovorni“ jer ukoliko svi uistinu „budemo odgovorni“ onda će famozni „m“ biti manji od 1 i broj zaraženih će opasti, a samim time će se smanjiti pritisak na zdravstveni sustav i time će se mjere moći popustiti.

 

Vaša eMatematika

Objavljeno: 13. Studeni 2021