Vjerojatnost preživljavanja vrste

Primjer: Duže vrijeme promatramo neku populaciju gljiva koja se razmnožava nespolno te smo došli do saznanja da svaka gljiva ima 0 potomaka s vjerojatnošću 1/12, jednog potomka s vjerojatnošću 2/3 te dva potomka s vjerojatnošću 1/4. Odredite vjerojatnost izumiranja populacije gljiva koja starta s jednim predstavnikom (kao na naslovnoj slici) te odredite očekivani broj gljiva u n-toj generaciji.

Rješenje: Očekivani broj potomaka jedne gljive računamo množeći broj potomaka s vjerojatnošću da se taj broj potomaka realizira i on je jednak 0*(1/12)+1*(2/3)+2*(1/4) odnosno 7/6 u našem slučaju. Uočimo da je dobijeni broj strogo veći od 1 što nam je bitno jer to znači da je vjerojatnost izumiranja populacije gljiva strogo manja od 1. (da smo dobili da je očekivani broj potomaka jedne gljive manji ili jednak 1 vjerojatnost izumiranja bi bila 100%). Sljedeći korak je riješiti jednadžbu P(s)=s, a njeno najmanje rješenje biti će naša tražena vjerojatnost izumiranja, pri čemu je P(s) funkcija izvodnica koju definiramo vrlo jednostavno. U našem slučaju postoje tri mogućnosti: 0, 1 ili 2 potomka, pa stoga kreiramo s na nultu, s na prvu i s na drugu. Njih pomnožimo s pripadnim vjerojatnostima te dobijamo redom 1/12, (2/3)*s i (1/4)*s^2. Sumiranjem tih izraza dobijamo funkciju izvodnicu tj. P(s)=1/12+(2/3)*s+(1/4)*s^2. Rješajemo jednadžbu P(s)=s:

1/12+(2/3)*s+(1/4)*s^2=s

Njena rješenja su redom: s1=1/3 i s2=1. Kao što smo napomenuli, uzimamo manje rješenje, a to je jedna trećina.

Dakle, vjerojatnost izumiranja ove populacije gljiva iznosi 1/3.

Prelazimo na drugi dio zadatka. Očekivani broj gljiva u n-toj generaciji računamo tako da potenciramo na n-tu očekivani broj potomaka jedne gljive, pa je rješenje (7/6)^n.

Svrha zadatka: Osim što smo naučili kako računati vjerojatnost izumiranja neke populacije ili kulture, cilj ovog teksta je i definirati naš pogled prema pandemiji Corona virusa. Naime, zarazu možemo modelirati slično kao u Primjeru. Krećemo od jednog čovjeka koji je zaražen i izračunamo očekivani broj ljudi koje će on zaraziti - označimo ga s „m“. Tada je očekivani broj zaraženih u n-toj generaciji jednak m^n. Uočimo da je to eksponencijalna funkcija i da vrijedi sljedeće: Ukoliko je m<1 onda vrijednost izraza m^n teži u nula kako n raste, a ukoliko je m>1 onda vrijednost izraza m^n teži u beskonačno. U prijevodu, ukoliko je m<1 virus će izumrijeti i pandemija će se okončati, a ukoliko je m puno veći od 1 virus će se raširiti gotovo svugdje i svaka osoba će biti zaražena.

Upravo to je razlog nošenja maski i svih mjera koje su na snazi, kao i krilatice „Budimo odgovorni“ jer ukoliko svi uistinu „budemo odgovorni“ onda će famozni „m“ biti manji od 1 i broj zaraženih će opasti, a samim time će se smanjiti pritisak na zdravstveni sustav i time će se mjere moći popustiti.

Vaša eMatematika