Search

Pripremamo studente za ispite na svim fakultetima

Pripremamo studente za ispite na svim fakultetima

Uz stručne online instrukcije i rješavanje zadataka položite ispite pred sobom!

Odaberite grupne ili individualne pripreme po cijenama od 25 do 75 kuna po satu!

Naruči instrukcije

Pripreme za maturu 2022.

Pripreme za maturu 2022.

Priprema za državnu maturu iz matematike - A i B razina

Odaberite grupne ili individualne pripreme po cijenama od 30 do 90 kuna po satu! PDV je uračunat.

Saznaj više

Kriptografija

Kriptografija

 

Što bi to bila kriptografija? Šifra, šifriranje, kodiranje. Što predstavljaju te riječi? Siguran sam, svi mi kad smo se kao djeca igrali, skrivali, pokrivali jedni druge pred roditeljima, dajući si određene “signale” odnosno šifre koje bismo samo mi između sebe mogli razumjeti. Isto tako su i ljudi kroz povijest, razvojem tehnologije komunikacije i prijenosa informacija, imali potrebu sakriti sadržaj informacije od znatiželjnih očiju, a da ona ipak stigne do njenog primatelja. Posebno je to bilo izraženo u vrijeme ratovanja i međudržavnih špijunaža. Kriptografija je dijete matematike odnosno kombinatorike, vjerojatnosti i matematičke logike. Danas ćemo u ovom blogu spomenuti neke važnije kriptografske tehnike i potrebu za prisutnošću kriptografije u nastavi matematike.

 

Kada govorimo o zvaničnoj definiciji kriptografije ona bi glasila: Kriptografija (hrv. tajnopis) je znanstvena disciplina koja proučava metode za slanje poruka u oblicima čitljivim samo onima kojima su i namijenjene. Začetke kriptografije nalazimo već u staroj Grčkoj, oni su koristili su drveni štap na kojeg bi namotali traku od pergamenta, te na nju okomito napisali poruku. Kada bi se traka odmotala, poruka na njoj postala bi nečitljiv skup znakova, a pročitati bi je mogao samo onaj koji je posjedovao štap odgovarajućeg promjera. Naprava za šifriranje nazivala se skital. Danas je, u vrijeme razmjene poruka na razini globalnih komunikacijskih mreža, kriptografija je u širokoj uporabi. Ona se bavi podacima u digitalnom obliku, a postupci kriptiranja i dekriptiranja matematičke su naravi i provode se uz pomoć računala. Suvremena je kriptologija tako informatička disciplina koja se oslanja na teoriju brojeva i druge matematičke teorije. Algoritmi koji iz jasnoga teksta izračunavaju kriptirani tekst i obrnuto najčešće primjenjuju parametarske matematičke funkcije. Parametar funkcije određuje konkretan način izračunavanja i čini ključ kriptiranja. U skladu s Kerckhoffovim načelom, funkcije kriptiranja i dekriptiranja, koje zajedno čine kriptosustav, najčešće su poznate, a tajnost poruka jamči njihov ključ.

 

Sad ćemo opisati neke jednostavne kriptosustave koji se mogu izučavati na nastavi matematike u školama i drugdje. Oni su razumljivi i onima koji nemaju širok spektar poznavanje matematičkih disciplina ovih vrsta, prvenstveno učenicima osnovnih i srednjih škola, ali i odraslima koji su znatiželjni i otvoreni učenju.

 

●      Cezarova šifra

Ova metoda potječe još od rimskih vremena i njom se služio Gaj Julije Cezar, kako bi komunicirao sa svojim prijateljima.Sastoji se u tome da se svako slovo poruke zamijeni slovom koje se nalazi n mjesta dalje u alfabetu. Pretpostavimo da želimo šifrirati tekst “PAS”. Ako uzmemo tako na primjer za n=5, onda šifrat glasi: “UDZ”.

●      Vigenerova šifra

Ovaj način šifriranja vrlo je sličan Cezarovom. U ovom slučaju ključ je načinjen od bloka slova, odnosno one kraće riječi. Ako smo za ključ uzeli riječ “Bat” koja se sastoji od 2., 1. i 22. slova u alfabetu, onda ćemo prvo slovo otvorenog teksta pomaknuti za dva mjesta dalje, drugo za jedno mjesto, treće za 22, četvrto ponovo za 25, peto za 4, itd. Pa je naš šifrat “ČBM”.

●      U moderna kriptografija

Koristi se šifriranje simetričnim ključem. Primjer za to je IBM-ova DES šifra koju i danas koristi Unix, kao i njen prethodnik šifra Lucifer. Problem s kojim se kriptografi susreću prilikom uporabe ove metode je način prijenosa ključa. Postoje i varijante metode kod kojih su ključevi različiti, ali se mogu jednostavno jedan iz drugoga proračunati. DES je javno dostupna metoda šifriranja iz 1976. godine. Iako se danas smatra nesigurnom, često se nalazi u upotrebi (ATM, šifriranje e-mailova, kod pristupanja sustava s udaljenosti itd.). Danas nam je zanimljiva gledajući njen povijesni značaj jer je bila proglašena službenom metodom šifriranja vlade SAD-a. Postoje brojne varijacije tih metoda pa tako i trostruki DES koji je bitno sigurniji. Jedna od čestih upotreba šifriranja u današnje doba je i kontrola pristupa (ustanovama, računalima, podacima,...), ali i preračunavanja čitavih sadržaja u jedinstven broj hash s izuzetno malom vjerojatnosti dvostrukih rješenja za različite sadržaje. Sličan način, ali s drugom namjenom je MAC, odnosno šifriranje pristupne poruke, kada tajna, ključna lozinka daje šifrirani tekst koji se uspoređuje sa spremljenim za kontrolu pristupa, odnosno autentičnosti.

 

Osnovni problem u simetričnom šifriranju je upravljanje tajnim šiframa, ključevima koji su korišteni za šifriranje i dešifriranje poruke. Zbog toga se nakon objavljivanja rada koji su napisali Whitfield Diffie i Martin Hellman pojavilo šifriranje s javnim ključevima. Metoda je toliko promijenila rad s ključevima da ju je David Kahn opisao kao "najveći, revolucionarni napredak u kriptografiji od renesanse".

Stvaranje javnog i privatnog ključa je povezano matematičkim postupkom, nakon čega se dobiveni tekst javnog ključa može slobodno podijeliti, ali se njime skriven tekst može otključati samo privatnim ključem. Problemi moderne kriptografije su svakako sigurnost, ali i zakonska ograničenja u mnogim zemljama. Pitanje sigurnosti je pitanje velikog značaja zbog sve veće pojave programa za razbijanje lozinki kao što su: Crack i John the Ripper. Drugi veliki problem su zakonska ograničenja. U SAD-u se kriptografija smatra oružjem. Do 1999. u Francuskoj je bila znatno ograničena upotreba kriptografije. U mnogim državama se i danas upotreba kriptografije dovodi u pitanje legaliteta, kriptografi su u većini slučajeva na samoj granici zločina i služenja državi.

 

Nadamo se kako smo vas ovim blogom zainteresirali za jednu možda ne tako popularnu granu matematike, ali zasigurno zanimljivu i s digitalnim vremenom koje sve više napreduje i donosi mnoge opasnosti sve potrebniju. Ukoliko vam je ovaj blog bio zanimljiv možete pogledati film o Alanu Turingu i njegovoj Enigmi, o tome kako je kriptografija preokrenula povijest Drugog svjetskog rata, a za sva dodatna pitanja iz povog ili nekog drugog područja matematike, obratite nam se za online instrukcije na našoj platformi ematematika.hr

 

 

Vaša eMatematika

Objavljeno: 03. Svibanj 2022

Ostali eMatematika članci