Search

Pripreme
za maturu 2021.

Pripreme za maturu 2021.

Priprema za državnu maturu iz matematike - A i B razina

Odaberite grupne ili individualne pripreme po cijenama od 25 do 75 kuna po satu!

Saznaj više

Fraktali

Fraktali

 

Što galaksije, oblaci, živčani sustav i planinski lanci imaju zajedničko? Svi sadrže beskonačne uzorke znane kao fraktali. Geometrija je grana matematike koja proučava veličine, oblike i dimenzije stvari. Da bismo spoznali stvari, želimo opisati njihov oblik, veličinu i dimenziju. Preko dvije tisuće godina geometrija se zasnivala na Euklidovoj zamisli. Oblici koje smo poznavali i kojima smo opisivali prirodu su točka, pravac, kružnica, trokut, kugla, stožac... Ali oblaci nisu kugle, planina nije stožac niti munja putuje po pravcu. Fraktalna geometrija je geometrija prirode, mlada grana matematike utemeljeljena tek u prošlom stoljeću.

Otkinemo li komadić brokule taj komadić nalikuje cijeloj brokuli. Fraktal ima latinski korijen riječi fractus, što znači slomljeno, prekinuto. Da bismo mogli bolje predočiti razliku fraktalne i euklidske geometrije, treba objasniti pojam dimenzije. Pravac ima samo jednu dimenziju. Trokut možete nacrtati na papiru te ima dvije dimenzije, a piramidu možete, kao Egipćani, sagraditi u prostoru te stoga ima tri dimenzije. Euklidska dimenzija je cjelobrojna 1, 2, 3... Kako zamisliti geometrijski objekt koji nema cjelobrojnu dimenziju, nego na primjer dimenziju 1,5? Oblik koji može imati dimenziju koja je između dva cijela broja, fraktalan je oblik. Fraktali pokazuju slične obrasce u sve manjim razmjerima, svojstvo koje se naziva samosličnost. Zamislimo jednu dužinu. Iz te dužine uklonimo srednju trećinu te nam ostanu dvije dužine, svaka trećine duljine prvotne. Zatim od svake od njih izvadimo ponovno trećinu iz sredine i nastavljamo taj proces u beskonačnost.  Ovaj fenomen je poznat kao Cantorov skup te se smatra jednim od prvih fraktala. Bilo koji dio dužine koju dobijemo u opisanom procesu je i dalje sam dužina. Pogledajmo trokut iz euklidove geometrije. Stranica trokuta sama nije trokut, stoga trokut nije samosličan. Ali stvari u prirodi, oblaci, drveća i planine slični su svojim manjim dijelovima.

Uzmimo primjer jednostavne i vrlo zanimljive konstrukcije fraktala koji se naziva se Kochova pahuljica (na slici). Krenimo od jednakostraničnog trokuta. Kochov fraktal konstruiramo tako da svaku stranicu jednakostraničnog trokuta podijelimo na tri dijela, zatim uklonimo srednji dio te na njega dodamo dvije dužine jednakih duljina, tako da ponovno tvore jednakostraničan trokut. Za svaku dobivenu dužinu ponavljamo proces do beskonačnosti. Konačni lik ima beskonačno velik opseg, ali konačnu povšinu. Kochova krivulja dobije se analognim postupkom, samo što polazimo od samo jedne dužine, tj. pogledamo iteraciju dobivenu na samo jednoj stranici jednakostraničnog trokuta.

Najveće ime u fraktalnoj geometriji, Benoît Mandelbrot, zainteresirao se za članak Lewisa Richardsona naziva ''Koliko je dugačka britanska obala?''  Richardson je u tom članku zaključio da duljina morske obale nije dobro definirana. Kako uopće mjeriti morsku obalu? Možemo se voziti uz obalu cestom i mjeriti ju. Dobit ćemo neki broj koji odgovara tom mjerenju duljine obale. Zatim možemo hodati uz plažu, ulaziti u svaku uvalu i zalaziti u zavalu te ćemo dobiti drugi, veći broj koji odgovara tom mjerenju duljine obale. Ali ako zaziremo u svaku stijenu i svaki njen pregib, svaki zavijutak na plaži i svaki njen kamen, shvatit ćemo da duljina obale ne teži konačnom broju. Mandelbrot je shvatio da je Richardson krivo postavio pitanje u svom članku. Trebao se zapitati ''Koliko je naborana britanska obala?'' Mandelbrot je zaključo da britanska obala ima fraktalnu dimenziju 1,26 što je približna dimenzija Kochove krivulje.

Još jedan poznati fraktal je trokut Sierpinskog. Konstrukciju započinjemo od obojanog jednakostraničnog trokuta. Taj se trokut može podijeliti na četiri manja jednakostranična trokuta. Prvi korak u konstrukciji je uklanjanje srednjeg trokuta na čijem mjestu ostaje praznina. Ostaju tri obojana trokuta koja se, svaki posebno, dijele na isti način. Postupak ponavljamo do beskonačnosti te dobivamo fraktal trokut Sierpinskog. Pogledajmo sada kako se pomoću kocke može generirati takav fraktal. Prvo nacrtajte tri točke koje bi odgovarale vrhovima trokuta te ih numerirajte s (1), (2) i (3). Zatim nacrtajte četvrtu točku (4) bilo gdje unutar točkama zamišljenog trokuta, koja će za igru biti polazna točka. Sada bacite kocku. Ako dobijete brojeve 1 ili 2, nacrtajte točku na pola puta između polazne točke (4) i točke (1). Ako ste dobili broj 3 ili 4, nacrtajte točku na pola puta između (4) i (2), a ako ste dobili 5 ili 6, nacrtajte točku na pola između (3) i (4). Točka koju ste dobili u prvom bacanju postaje nova polazna točka za idući krug igre, tj. iduće bacanje. Ponovavljajte postupak, ovisno o vašem strpljenju te ćete nakon nekog vremena moći vidjeti da se točkama iscrtava trokut Sierpinskog.

Postoje i puno kompleksniji fraktali od kojih je najpoznatiji Mandelbrotov, ali za razumijevanje konstrukcije tog fraktala potrebno je znanje više matematike. Novi pogled na svijet koji je sa sobom dovela fraktalna geometrija omogućuje bolje razumijevanje prirode, posebice složenih procesa koje nekada nismo mogli opisati bez nove matematike. Virusi, epidemije, potresi i ekologija mogu se vidjeti puno jasnije kroz naočale fraktalne geometrije i tako omogućiti detaljnije proučavanje tih fenomena. Danas se znanje o fraktalima smatra nužnim jezikom znanstvene pismenosti te vas motiviramo da učite matematiku i promatrate prirodu. I zato smo vam uvijek spremni pomoći na eMatematici, samo trebate naručiti instrukcije iz matematike.

 

Vaša eMatematika

Objavljeno: 01. Travanj 2021