O simetriji

Sama riječ simetrija vuče korijene iz stare Grčke i kovanica je dvaju pojmova sym i metria što možemo prevesti kao 'ista mjera'. Već tada se taj pojam simetrije povezivao s ljepotom što možemo vidjeti u djelima poznatih grčkih mislilaca Aristotela i Platona. Zanimljive su Aristotelove riječi : 'Vodeće forme ljepote jesu uređen raspored, razmjer[simetrija], i određenost što ih otkrivaju posebice matematičari'. Tadašnji pojam simetrije više bi odgovarao današnjim shvaćanjima proporcija, odnosno razmjera. O tome su posebno vodili računa projektanti i graditelji grčkih hramova. Slijedeći te grčke principe, o odnosu simetrije i proporcija pisao je i poznati rimski arhitekt Vitruvije: 'Nacrt hrama ovisi o simetriji, načelima koje arhitekt mora vrlo pozorno i pomno promatrati. Ona su tu zahvaljujući proporciji. 'Proporcija je podudaranje među mjerama članova cjelovitog djela i cjeline do određenog dijela odabrana za standard'. Današnje shvaćanje simetrije, jednostavnim rječnikom mogli bismo reći: 'Neka stvar je simetrična ako postoji nešto drugo čime joj možete nešto učiniti tako da, nakon što s time završite, ona izgleda isto kao i prije.

U matematici, simetrija ipak ima malo precizniju definiciju te tako kažemo da je objekt simetričan ako ostaje invarijantan (hoće reći ne mijenja se) pri djelovanju transformacija poput translacije, refleksije, rotacije ili skaliranja. Također možemo promatrati simetriju s obzirom na protok vremena ili neku drugu funkcionalnu transformaciju. Općenito, možemo reći da je objekt simetričan s obzirom na neku matematičku operaciju ako, primijenimo li operaciju na taj objekt, neko svojstvo objekta ostane sačuvano to jest nepromijenjeno. Zanimljivo je da u svakoj grani matematike možemo primijetiti neku vrstu simetrije, pa tako na primjer u analizi uočavamo parne funkcije koje su zrcalno simetrične s obzirom na vertikalnu os ordinatu i neparne funkcije koje su centralno simetrične s obzirom na ishodište koordinatnog sustava, nadalje u linearnoj algebri su nam vrlo važne simetrične matrice, u teoriji vjerojatnosti se često pojavljuju simetrične distribucije slučajnih varijabli, kao i mnoštvo drugih primjera u raznim granama matematike. Naravno, kako matematiku možemo shvatiti kao jezik kojim formalno opisujemo obrasce koje primjećujemo u svijetu oko nas, ne treba vas začuditi da se simetrija pojavljuje doslovno posvuda, pa tako osim u arhitektonskim građevinama koje je stvorio čovjek, doduše posuđujući većinu ideja iz prirode, simetrija se prvenstveno pojavljuje u prirodi.

U biologiji, simetrija se koristi da bi opisala oblike tijela. Tako kod bilateralnih [dvostranih] životinja, uključujući i čovjeka, u sagitalnoj ravnini primjećujemo najpoznatiju vrstu simetrije, a to je zrcalna simetrija koja dijeli tijelo na lijevu i desnu polovicu. Također i u biljnom svijetu možemo često uočiti razne vrste simetrije, od same građe biljaka pa i njihovih dijelova poput listova. Osim toga, simetriju primjećujemo i na mikroskopskoj razini. Spuštajući se u još sitnije strukture, poput molekula pa i samih atoma, simetrija nam omogućuje da bolje razumijemo međudjelovanje različitih tvari, ili mijenjamo njihova svojstva mijenjajući njihove osi simetrije. Naravno, u prirodi nećemo nikada pronaći matematički savršenu simetriju. Općenito, promatrajući lice čovjeka, smatramo da se ljepota lica krije upravo u njegovoj simetriji te su nam tako najprivlačnija gotovo savršeno simetrična lica.

Govoreći o ljepoti, ne možemo izostaviti simetriju u umjetnosti koja zaslužuje posebnu temu. Pritom ne mislimo samo na umjetnička djela poput kipova ili slika, već i na glazbu. Jednostavni primjer simetrije s obzirom na translaciju čine početni stihovi Mozartove Simfonije br. 40 u g-molu. Mozartova povezanost s dijelovima matematike nije iznenađujuća. Njegova sestra Marianne zapisala je kako je jednom prilikom prekrio zidove stubišta i svih soba u njihovoj kući brojevima, a kada mu je ponestalo mjesta, prešao je i na zidove susjedne kuće. Čak su i na marginama njegovog rukopisa za Fantaziju broj 1 s fugom u C-duru pronađeni izračuni vjerojatnosti za dobitak na lutriji. Osim čuvenog Mozarta, eksperimentirajući sa simetrijom, posebno se istakao i Bach, u kasnijem dijelu života pišući djela koja vrve raznim oblicima simetrije.

Svi ovi primjeri govore nam da bi, želimo li bolje razumjeti svijet oko nas ili možda stvarati gotovo savršena umjetnička djela, ipak trebali znati da se u pozadini svega nalaze temeljni principi koje su matematičari davno opisali. Stoga odbacite strah od matematike i dopustite da vas korak po korak matematika dovede do spoznavanja istinski savršenih struktura.

Online instrukcije iz matematike s našim instruktorima ponekad će poslužiti i za razumijevanje zadataka za čije rješavanje treba poznavati definiciju odnosno značenje simetrije.

Vaša eMatematika