Kolika je zapravo pouzdanost testova na bolesti?

U današnjem blogu, motivirani pandemijom koronavirusa, donosimo Vam neke zanimljive rezultate iz teorije vjerojatnosti koji su povezani s testovima na neke zarazne bolesti. Promotrimo sljedeći problem:

Laboratorijski krvni test je 95% učinkovit u otkrivanju konkretne bolesti kada je ta bolest prisutna. Test također ukazuje na bolest i u 1% slučajeva kada je osoba zdrava. Poznato je da 0.1% populacije ima tu bolest. Kolika je vjerojatnost da slučajno odabrana osoba ima tu bolest ako je rezultat testa pozitivan?

U nastavku teksta donosimo rješenje na navedeni problem, ali prije toga Vas svakako pozivamo da razmislite i ponudite neki okvirni odgovor, a zatim pokušate samostalno riješiti ovaj zadatak. Naime, riječ je o zadatku za koji nije potrebno nikakvo predznanje već samo elementarno računanje i poneki dobar zaključak.

Krenimo sada na rješenje. Promotrimo populaciju od milijun stanovnika. Kako u samom tekstu zadatka piše, njih 0.1% ima bolest, dakle 0.001 * 1 000 000 = 1000 stanovnika je bolesno. Kako je test 95% učinkovit u otkrivanju bolesti, na testiranju će njih 950 biti pozitivno. Od preostalih 999 000 zdravih stanovnika, na testu će pozitivan rezultat imati njih 1%, odnosno 0.01 * 999 000 = 9990. Dakle, ukupno pozitivnih na testiranju će biti 950 + 9990 = 10940. Da rezimiramo, imamo 10940 pozitivnih na testiranju od kojih je samo njih 950 bolesno (to smo izračunali ranije, imamo 1000 bolesnih, a njih 950 je bilo pozitivno na testiranju, pa gledamo samo njih jer nas to traži u tekstu zadatka). Sada jednostavno zaključujemo da je vjerojatnost da slučajno odabrana osoba koja ima pozitivan test uistinu ima tu bolest iznosi samo 950/10940 = 0,0868 odnosno 8,68%.

Prokomentirajmo malo ovaj rezultat.

1) U nekom terminu je zakazana utakmica između dva kluba. Recimo da u utakmici uključujući igrače, trenere i ostalo stručno osoblje neizostavno mora sudjelovati 30ak osoba. Međutim, prije same utakmice, nužno je testirati sve sudionike i ako nekoliko njih ima pozitivan test utakmica se ne može odigrati, odnosno mora se odgoditi. Zamislimo sada situaciju da tri igrača iz neke ekipe imaju pozitivan test. Vjerojatnost da je igrač zaražen ako ima pozitivan test iznosi 8,68%. Odatle zaključujemo da je vjerojatnost da je igrač zdrav ukoliko ima pozitivan test zapravo 91,32%. Zaključujemo da je vjerojatnost da su sva tri igrača s pozitivnim testom zapravo zdrava jednaka (0.9132)^3, odnosno 0,7615. Dakle, utakmica se nepotrebno odgodila s vjerojatnošću od 76,15%.

2) Nastavno na gornji zadatak logično si je postaviti pitanje kolika je šansa da imam Covid-19 ukoliko je moj nalaz pozitivan. Da biste dobili precizan odgovor na to pitanje potrebno je u obzir uzeti jako puno različitih parametara kao npr. u kojoj se državi nalazite, koliko imate godina, s koliko se prosječno osoba družite, na kojem ste radnom mjestu,... Napominjemo kako gornji podaci nisu ispravni za bolest Covid-19, već za neku drugu bolest. Ipak, ono što možemo zaključiti po navedenom primjeru je sljedeće: Ukoliko sam imao neke simptome poput povišene temperature ili jakog kašlja i išao sam se testirati te dobio pozitivan nalaz onda je velika vjerojatnost da imam Covid19. Međutim, ukoliko sam se išao testirati zbog prelaska granice bez ikakvih simptoma i dobio pozitivan test, onda su šanse da imam Covid19 manje nego u prvom slučaju.

Na kraju ćemo Vam poručiti da se čuvate i pazite na sebe i osobe oko Vas. Online instrukcije iz matematike mogu pomoći školarcima u samoizolaciji kod nadoknade gradiva, ukoliko bude potrebno javite nam se s povjerenjem.

Vaša eMatematika