Hilbertov hotel - uvod u pojam beskonačnosti

Zamislimo da negdje u Svemiru postoji hotel s beskonačno mnogo soba koje su numerirane brojevima 1,2,3,... Također, zamislimo da su sve sobe zauzete gostima (u smislu, za svaki prirodni broj n, soba n je zauzeta). Takav hotel u nastavku teksta zovemo Hilbertov hotel.

U nekom trenutku na recepciju hotela dolazi još jedan putnik koji želi sobu. Recepcionar mu mora osigurati slobodnu sobu u hotelu, inače će dobiti otkaz. Na koji način to može provesti? Jedno od rješenja je sljedeće: gosta iz sobe 1 ćemo prebaciti u sobu 2, gosta iz sobe 2 u sobu 3, ... Preciznije, gosta iz sobe n ćemo prebaciti u sobu n+1. Na taj način, soba 1 je postala slobodna i u nju ćemo smjestiti novog gosta.

Na sličan način može se smjestiti i proizvoljan konačan broj gostiju. Na primjer, ako je u hotel došlo 50 novih gostiju, tada će recepcionar prebaciti gosta iz sobe 1 u sobu 51, gosta iz sobe 2 u sobu 52 itd. Preciznije, gost iz sobe n treba preseliti u sobu n+50, a pridošlih 50 gostiju ćemo tada smjestiti u sobe 1,2,...,49,50.

Nedugo nakon toga, recepcionar se nalazi pred novim izazovom. Ovoga puta pred hotel dolazi Hilbertov autobus (autobus s beskonačno mnogo putnika na mjestima 1,2,...). Sljedeći zadatak je smjestiti beskonačno putnika u hotel. Nakon nekoliko trenutaka promišljanja, recepcionar je došao na ideju da gosta iz sobe 1 prebaci u sobu 2, gosta iz sobe 2 u sobu 4, ... Preciznije, gost iz sobe n treba preseliti u sobu 2n. Na taj način, sobe s parnim brojem će biti popunjene, dok će sve sobe s neparnim brojem ostati prazne. U njih ćemo smjestiti nove goste hotela.

U Svemiru je sada došlo do čudne situacije. Svemirska inspekcija je zatvorila sve hotele nalik na Hilbertov, i to beskonačno njih. U prijevodu, pred Hilbertov hotel sada dolazi beskonačno mnogo autobusa s beskonačno mnogo putnika koje je potrebno smjestiti u Hilbertov hotel. Kako to učiniti? Recepcionar je razmišljao i razmišljao, a onda mu je, u jednom trenutku, sinula ideja. Sjetio se Euklida i tvrdnje koju je dokazao: "Ne postoji najveći prosti broj". Ideja kako provesti ovaj nimalo lagan zadatak u djelo je sljedeća: Za svaki prosti broj p i svaki prirodni broj n zamoli gosta u sobi p^n da se prebaci u sobu broj p^(2n). Na taj način je ispraznio sobe numerirane neparnim potencijama prostih brojeva. Sada za sve prirodne brojeve "i" i "k" smjesti putnika koji je sjedio na mjestu broj „k“ u autobusu broj „i“ u sobu broj p(i)^(2k+1), pri čemu je s p(i) označen i-ti prosti broj.

Uvedimo sada pojam kardinalnosti: Kardinalnost nekog skupa označava koliko elemenata taj skup ima. Tako je primjerice kardinalnost skupa {1,2,3} jednaka 3 jer on sadrži 3 elementa, dok je kardinalnost skupa {3,5,7,9,10} jednaka 5 jer on sadrži 5 elemenata. Postavlja se pitanje kolika je kardinalnost skupa prirodnih brojeva 1,2,3,... Intuitivno, znamo da skup prirodnih brojeva ima beskonačno mnogo elemenata. Uvodimo oznaku: kardinalnost skupa prirodnih brojeva je alef nula (dakle, skup N ima alef nula elemenata).

Iz gore ispričane priče može se naslutiti da je unija 2 skupa kardinalnosti alef nula, također kardinalnosti alef nula (analogon iz priče je sljedeći: u Hilbertov hotel dolazi beskonačno mnogo gostiju koje treba smjestiti u popunjeni hotel s beskonačno mjesta). Također se može naslutiti kako je alef nula pomnoženo s alef nula ponovno alef nula (analogon iz priče je treći dio kada dolazi beskonačno autobusa s beskonačno putnika).

Formalni dokazi ovih tvdnji ipak su nešto kompliciraniji i na ovom mjestu ih ne navodimo, a zainteresirane pozivamo da ih sami potraže ili da se jave nekom od naših instruktora.

Učenici ili studenti koji se pripremaju za natjecanja iz matematike dobrodošli su na zahtjevne instrukcije iz matematike na kojima takve „treniramo“ za postizanje što boljeg rezultata. eMatematika ima na raspolaganju više vrsnih i čestih sudionika državnih natjecanja iz matematike. Ti instruktori sa zadovoljstvom pripremaju malo drugačije online instrukcije iz matematike jer se radi o pravim malim matematičkim izazovima kojima se naši obožavatelji matematike uvijek vesele.

Vaši eMatematika instruktori