Squid game na matematički način

Za sve Vas koji ste pogledali seriju „Squid game“ u nastavku donosimo nekoliko matematičkih i vjerojatnosnih problema vezanih uz jednu od igara.

Opis igre: Pretpostavimo da se „n“ igrača nalazi na polju S koje simbolizira oznaku start te im je cilj doći do polja F koje simbolizira cilj prelazeći polje oblika 2 x k. Igrači su na startu poredani jedan iza drugoga. Igrač broj 1 mora odabrati hoće li skočiti na polje lijevo ili polje desno na levelu 1. Ukoliko izabere pogrešno polje, staklo pod njim će puknuti i igrač je eliminiran, a ukoliko izabere ispravno polje isti zadatak ima na idućem levelu. Sljedeći igrač sada zna na koje polje mora skočiti na levelima koje je posjetio njegov prethodnik, ali mora birati lijevo ili desno na neposjećenom levelu. Pretpostavimo da se pred nama nalazi „k“ levela do cilja.

Pitanja: Koliki je očekivani broj igrača koji će doći do cilja? Kolika je šansa da 50% igrača završi igru bez eliminacije?

Problem 1: Trebamo odrediti očekivani broj igrača koji će doći do cilja. Svaki igrač s vjerojatnošću 0.5 bira lijevu stranu i s vjerojatnošću 0.5 bira desnu stranu. Označimo s X(a) očekivani broj igrača koji će doći do levela „a“. Dakle, trebamo odrediti koliki je X(k). Idemo redom: Očito je X(0)=n jer se toliko ljudi nalazi na startu kojeg doživljavamo kao nulti level. Nadalje je X(1)=0.5*n+0.5*(n-1)=0.5*n+0.5*n-0.5, a odatle dobijamo X(1)=n-0.5. Generaliziramo li, općenito vrijedi: X(a)=0.5*X(a-1)+0.5*(X(a-1)-1)=X(a-1)-0.5 gdje je s „a“ označen proizvoljan level takav da vrijedi 0<a<k+1. Sada možemo pisati:

X(0)=n , X(1)=X(0)-0.5 , X(2)=X(1)-0.5 , ...., X(k)=X(k-1)-0.5

Zbrojimo li sve te jednadžbe dobijamo: X(0)+X(1)+...+X(k)=n+X(0)-0.5+X(1)-0.5+...+X(k-1)-0.5

Na lijevoj i desnoj strani kraćenjem jednakih pribrojnika ostaje: X(k)=n-k/2.

Zaključujemo da je očekivani broj igrača koji će doći do cilja jednak n-k/2 ukoliko je to pozitivan broj, a 0 ukoliko smo dobili negativan broj.

Napomena: Postoji više načina kako riješiti Problem 1, pokušajte sami na neki drugi način dobiti isto rješenje J

Problem 2: Trebamo odrediti kolika je vjerojatnost da 50% igrača dođe do cilja. Rješenje ovog problema je dosta kompliciranije pa ćemo u nastavku ponuditi ideju rješavanja, a vas pozivamo da zadatak pokušate samostalno riješiti. Ukoliko smatrate da ste uspjeli, slobodno nam se javite mailom i podijelite vašu kreativnost s nama.

Uvedimo funkciju d(x) koja nam govori sljedeće: ukoliko je x prirodni broj, onda funkcija d(x) vraća upravo njega, tj. d(x)=x, a ukoliko je x decimalni broj onda vrati prvi manji prirodni broj. Evo nekoliko primjera: d(4)=4, d(8)=8, d(2.45)=2, d(2.65)=2, d(4.001)=4 itd.

Znamo da se pred nama nalazi „n“ ljudi i „k“ levela. Zadatak rješajemo slično prethodnom, po levelima. Uočimo da je za prvih d(n/2) levela vjerojatnost da ih dosegne 50% igrača jednaka 1 (jer uzmemo li najgori slučaj da na svakom levelu igrači odaberu krivo polje dobijamo da je manje ili jednako od n/2 igrača eliminirano, što znači da ih je više ili jednako od n/2 dostiglo level, tj. barem njih 50%). Vjerojatnost da 50% igrača dosegne level d(n/2)+1 je jednaka 1-(1/2)^(d(n/2)+1). (što bi značilo da je jedini nepovoljan slučaj da su na prvih d(n/2)+1 polja igrači odabrali pogrešnu stranu, a svaku naravno s vjerojatnošću ½).

Analogno nastavimo dalje, pokušajte samostalno.

Vaša eMatematika