Dijeljenje s nulom

Ovaj blog će razmotriti koncept dijeljenja s nulom, odnosno objasniti što bi zapravo značilo podijeliti neki konkretan broj s nulom i približiti neke matematičke ideje kojima možda možemo takvom dijeljenju pridružiti neki rezultat koji bi imao smisla.

Započnimo s idejom dijeljenja kakvu smo je učili kada smo se prvi put susretali s njom. Kao što i sam naziv govori, radi se o konceptu podjele, i to podjele na jednake dijelove. Na primjer, imamo dvadeset jabuka koje želimo podijeliti na četiri osobe tako da svaka osoba dobije jednak broj jabuka. Naravno, to ćemo učiniti tako da svakoj osobi damo 5 jabuka. Vođeni takvom idejom dijeljenja pokušajmo podijeliti tih istih dvadeset jabuka na nula osoba. Odgovor nam nije odmah jasan. Možda je to nula, jer nitko ne dobije niti jednu jabuku? Možda je odgovor 20 jer su jabuke ostale nepodijeljene? Pogledajmo još jedan primjer. Što kad bismo pokušali podijeliti 20 jabuka jednoj polovini osobe? Znamo dijeliti s racionalnim brojevima, pa lako dobijemo da je rezultat ovog dijeljenja 20 ÷ 0.5 = 40. Kako je to moguće? Kako smo od 20 jabuka dobili njih 40? U ovom slučaju nije problem u matematičkom izrazu, već u situaciji koju smo pokušali modelirati matematičkim izrazom. Jasno, ne postoji pola osobe kojoj bi mogli podijeliti te jabuke. Kada smo pokušali dijeliti jabuke na nula osoba, problem je nastao zato što nismo mogli uopće izvršiti podjelu jer nismo imali nikoga kome bi dijelili. Dakle, problem u ovoj situaciji je što moramo imati neki broj osoba kojima ćemo dijeliti, inače ne možemo ni izvršiti podjelu, pa samim time ne možemo odrediti rezultat dijeljenja.

Vidimo da ovakav pristup dijeljenju ne donosi nikakve smislene zaključke o rezultatu dijeljenja s nulom, stoga ponekad kažemo da je takvo dijeljenje nedefinirano. Možemo se zapitati, postoji li nekakvo drugačije tumačenje dijeljenja, odnosno nekakva drugačija situacija u kojoj bi dijeljenje s nulom možda imalo smisla. Na primjer, ako interpretiramo sada izraz A : B na malo drugačiji način pogledajmo što se dogodi. Umjesto da skupinu od A elemenata dijelimo na B grupa i pitamo se koliko elemenata ima svaka grupa, možemo smatrati B veličinom svake grupe i pitati se na koliko grupa te veličine možemo A podijeliti. U slučaju s jabukama, umjesto da 20 jabuka dijelimo na četiri dijela i pitamo se koliko jabuka ima u svakom dijelu, možemo to interpretirati tako da se pitamo koliko grupa možemo napraviti od 20 jabuka ako u svakoj grupi trebaju biti 4 jabuke. Vidimo da je odgovor jednak. Sada izraz 20 ÷ 0.5 ima smisla, jer naravno možemo napraviti 40 grupa od tih 20 jabuka tako da u svakoj grupi ima točno pola jabuke. U tom kontekstu, možemo pokušati odrediti 20 ÷ 0 i vidimo da opet nailazimo na problem. Ako 20 jabuka dijelimo u grupe, a veličina svake grupe je nula, možemo napraviti koliko god grupa želimo, i uvijek još jednu... je li odgovor možda beskonačnost? Ali to nije broj iste vrste kao i ovi brojevi koje smo koristili u dijeljenju.

S druge strane, sad kad smo se malo prisjetili dijeljenja, sjetimo se kako je ono povezano s množenjem. Izračunali smo 20 ÷ 4 = 5 pa onda znamo odmah i da je 5 × 4 = 20. Općenito, ako je A÷B=C tada je i C×B=A. Pogledajmo sada slučaj koji nas zanima. Krenimo odmah općenito i pokušajmo odrediti koliko je A÷0 za bilo koji broj A i recimo da je to broj X kojeg želimo saznati. Dakle, vrijedi A÷0=X, pa onda vrijedi i X×0=A. Ali znamo da je X×0, uvijek jednako 0, pa je onda i A=0. Dobili smo da naš broj A s početka, kojeg smo mogli odabrati kako god smo htjeli, mora biti baš jednak 0. Provjerimo onda tu mogućnost, dakle izraz 0÷0. Ponovno, neka je to neki broj X. Dakle, 0÷0=X pa je i X×0=0. Sada vidimo da opet ne možemo saznati koji je to točno broj X, jer X×0=0 za baš svaki broj kojeg uzmemo.

Možda smo se sjetili da kad dijelimo isti broj s istim brojem, odnosno kad računamo izraz A÷A, dobijemo 1 kao rezultat. Ako to vrijedi za svaki broj osim 0, zašto ne bi vrijedilo i za nulu? Pa zamislimo na trenutak da je 0÷0=1 i pogledajmo što se događa. Tada vrijedi i

 2×(0÷0)=0÷0+0÷0=(0+0)÷0=0÷0, to jest 2×(0÷0)=0÷0, pa ako je 0÷0=1 odatle je 2=1. I ne samo to, vidimo da na isti način dobivamo da je onda i  3×(0÷0)=0÷0+0÷0+0÷0=(0+0+0)÷0=0÷0, odnosno i 3=1 pa nam onda svi brojevi postaju jednaki što je očito neistina!

Sada je jasno da pitanje dijeljenja s nulom nije bilo tako jednostavno za odgovoriti i čini se da odgovora nema. Međutim, postoji kontekst u kojem dijeljenje s nulom ima smisla i vezano je za pojam limesa koji naizgled krši ova pravila koja smo koristili. Koncept limesa se temelji na približavanju, pa dakle kad već ne znamo dijeliti s nulom, a znamo s malim brojevima, pa onda promatramo što se događa kada neki broj A dijelimo s nekim B koji je sve manji i manji broj, odnosno približava se nuli.  Pa onda razlikujemo i s koje strane se približavamo, odnosno uzimamo li pozitivan broj ili negativan s kojim dijelimo. Ako vas muči limes, obratite se nama na eMatematika i naručite online instrukcije iz matematike  s najboljim instruktorima već danas. Često kršenje pravila i gledanje stvari iz nekog novog kuta donosi zanimljive i nove spoznaje u matematici. Upravo zato što se netko zapitao 'što ako je moguće?' umjesto da je mislio 'ovo se ne može' otkrivene su mnoge velike stvari. Zapitajte se i vi što bi bilo kad bi pokušali nešto na drugi način i otkrijte čudesan svijet matematike s našim instruktorima!

Vaša eMatematika