Geometrijske konstrukcije i problem trisekcije kuta

Euklid, otac geometrije, prvi se okušao u konstrukciji pomoću šestara i ravnala te je otkrio kako konstruirati zbrojeve, razlike, umnoške, omjere i kvadratne korijene zadanih duljina. Mogao je konstruirati i polovicu zadanog kuta, kvadrat čija je površina dvostruko veća od površine drugog kvadrata itd. Ali nije mogao konstruirati trećinu zadanog kuta, kvadrat s istom površinom kao zadani krug ili pravilni mnogokut s drugim brojem stranica, niti su mogli konstruirati stranicu kocke čiji bi volumen bio dvostruko veći od volumena kocke s danom stranicom. Kako je Euklid došao do tih problema?

Sve konstrukcije pomoću ravnala i šestara sastoje se od primjene pet osnovnih koraka pomoću već izgrađenih točaka, pravaca i kružnica. To su: konstrukcija pravca kroz dvije točke, konstrukcija kružnice kroz jednu točku sa središtem u drugoj točki, konstrukcija točke koja je sjecište dviju postojećih neparalelnih pravaca, konstrukcija jedne ili dvije točke u presjeku pravca i kružnice (ako se sijeku) i konstrukcija jedne ili dvije točke u sjecištu dviju kružnica (ako se sijeku). Ako imamo dvije točke u ravnini koje su nam dane od prije, onda možemo na njih postaviti ravnalo i spojiti ih ravnom linijom. Zamislimo da je to ravnalo beskonačno dugačko i da nema oznaka za duljinu na sebi te da je papir na kojem crtamo također beskonačno velik. Zamišljamo to tako jer je tako to radio Euklid i zato što se možemo zapitati neka pitanja o tome što možemo dobiti pri takvoj konstrukciji makar je pomalo apstraktna. Znači li to da ne možemo napraviti dužinu dugu 20 cm? U Euklidovom svijetu geometrije zapravo i ne možemo. Da nam je dana dužina za koju znamo da je duga 1 cm, možemo konstruirati dužinu dugu 20 cm na ovaj način: nacrtajmo pravac i danu nam dužinu od 1 cm. Tada korištenjem šestara izmjerimo danih 1 cm, zatim nacrtamo još jedan pravac, pomoćni pravac, odaberemo početnu točku na tom pomoćnom pravcu te šestarom zacrtamo po 1 cm dvadeset puta.

 Jedno od glavnih pitanja kojima su ljudi bili zaokupljeni dugo vremena je kakve duljine možemo konstruirati ako imamo danu dužinu od 1 cm. Danas kada krenemo kao djeca učiti matematiku, prvo nas uče brojeve, ali za Euklida i ljude njegova vremena bilo je nešto drugačije. Oni su smatrali geometriju fundamentalnom, kraljicom matematike. Mislili su o oblicima, točkama, pravcima, trokutima itd. kao o fundamentalnim objektima. Brojeve su promatrali kao nešto što proizlazi iz geometrije. Pitanje koje su oni postavili bilo je malo drugačije. Prvo ćemo pokazati što možemo učiniti s ravnalom i šestarom. Ako imamo dužinu i želimo konstruirati okomicu koja ju presijeca na dva jednaka dijela, možemo to napraviti korištenjem ravnala i šestara. Zapiknemo u jednu krajnju točku dužine šestar te ga otvorimo tako da je dulji od polovice dužine i zatim nacrtamo dva kružna luka jedan s gornje, a drugi s donje strane dužine. Zatim zapiknemo šestar, ostavljajući ga jednako raširenim, isto kao u prvom dijelu postupka, samo u drugu krajnju točku te ponovno napravimo dva kružna luka s gornje i donje strane. Točke koje smo dobili u kojima se kružni lukovi presijecaju s gornje i donje strane dužine, spojimo ravnalom. Tako smo dobili pravac koji presijeca dužinu na dva jednaka dijela pod pravim kutem. Još jedna stvar koju možemo napraviti koristeći se ravnalom i šestarom jest podijeliti proizvoljan kut na dva jednaka dijela. Nacrtamo li proizvoljan kut, ne znajući koliko je velik jer nismo opremljeni ičeme što mjeri veličinu kuta, možemo ga raspoloviti, tj. možemo konstruirati pravac koji prolazi kroz sredinu kuta. Otvorimo šestar i zapiknemo ga u vrh kuta te napravimo kržni luk koji presijeca polupravce kojima je određen kut. Zatim od tih točaka koja su presjecišta kružnog luka i pravca zapiknemo šestar u jednu točku i nacrtamo kružni luk te u drugu i ponovno nacrtamo kružni luk. Sada kroz točku presjecišta tih kružnih lukova i vrha kuta povučemo pravac. Taj pravac presijeca kut na dva jednaka dijela.

Što ako želimo podijeliti kut na tri jednaka dijela, tj. učiniti trisekciju kuta? Nacrtamo li proizvoljan kut, možemo li imati postupak konstrukcije pomoću šestara i ravnala koji bi rezultirao dvijema linijama koje dijele kut na tri jednaka dijela? Euklid to nije uspio. Idućih dvije tisuće godina ljudi su mozgali o tom problemu dok u ranom devetnaestom stoljeću mladi Evariste Galois nije došao do teorije da je trisecija kuta nemoguća, a dokazao ju je Pierre Wantzel. Kada je nešto rješivo, jednostavno treba doći do rješenja problema. Ali što ako tvrdimo da je nešto nerješivo? Ne možemo tvrditi da je dokaz da je nešto nerješivo to što ljudi tisućama godina nisu uspjeli doći do rješenja. Treba doći do nečeg određenog što dokazuje da je problem nerješiv. Taj se problem riješio tako da su se ljudi zapitali kakvu duljinu nečega možemo konstruirati ako imamo zadanu jediničnu duljinu. Pokazalo se da možemo konstruirati sve brojeve koji uključuju razlomke i druge korijene, operacije zbrajanja i oduzimanja. Ali s trećim korijenom već imamo problema pri konstrukciji. Wantzel je dokazao da se treći korijeni ne mogu konstruirati te je tako omogućio rješenje nerješivog problema trisekcije kuta jer taj proces ima nekakve veze s trećim korijenom, što ćemo uskoro razjasniti. Prvo se pitamo kako uopće dokažemo da ne možemo konstruirati treći korijen? Jezik kojim se koristimo pri prevođenju geometrije u brojeve jest analitička geometrija. U analitičkoj se geometriji koristimo koordinatnim sustavima i koordinatama te nam je zadana jedinica iz koje dobivamo sve ostalo. U analitičkoj geometriji se pitamo koje su koordinate točaka koje želimo konstruirati ako poznajemo osnovne korake konstrukcije. Naše nove točke se formiraju kao sjecišta pravaca ili kružnica, a kada rješavamo problem koordinata sustava sjecišta zapravo rješavamo jednadžbe koje dobivamo iz jednadžbi pravca i kružnica. Jednadžba pravca je linearna jednadžba y = ax + b, a jednadžba kružnice je kvadratna jednadžba x^2 + y^2 = r^2, stoga kada rješavamo te jednadžbe nikada nećemo dobiti treće korijene jer su oni rješenja kubnih jednadžbi. U Euklidovo vrijeme još se nije znalo o analitičkoj geometriji stoga je trebalo godina i godina da se dokaže da je trisekcija kuta nerješiv problem.

Ako imate poteškoća s konstrukcijama u geometriji, analitičkom geometrijom ili bilo čime drugime vezanim za matematiku, javite se našim insktruktorima na ematematici za online instrukcije iz matematike.

 

Vaša eMatematika