Slučajnost ili ne?

Pojam slučajnosti u matematici vrlo je neobičan. Razmislite jeste li ikada hodali kroz voćnjak u kojem su zasađene iste biljke, primjerice jabuke. Svako sjeme jabuke koje je posađeno došlo je iz istog soja, sadnice su rasle u istom okruženju. Dobivale su jednako sunčeve energije, jednaku količinu brige, jednaku zemlju i suplemente za zemlju. Zatim su posađene u isti voćnjak te su nastavile rasti i razvijati se u istom okruženju. Tamo su također dobivale jednaku količinu padalina i sunčeve energije. No, ukoliko pogledate svako stablo, ono neće biti isto. Grane će izgledati malo drugačije, kora će im biti slična, kao i plodovi, visina svakog stabla ipak će se malo razlikovati. Neobično, zar ne? Bez obzira što su dobivale jednaku njegu i rasle u jednakim vanjskim uvjetima, one neće biti potpuno identične.

Sljedeći primjer su jednojajčani blizanci. Bez obzira što se nama čini da su blizanci uvijek identični, postoje razlike koje možda ne možemo tako lako primjetiti, kao što je razlika u visini, ali i mnogi drugi detalji koji nisu toliko uočljivi na prvi pogled.

Vratimo se sada na stabla. Kada bismo izmjerili visinu svakog od stabala, vidjeli bismo da ti podatci u sebi sadrže komponentu slučajnosti odnosni zaključci koje bismo donijeli statističkim zaključivanjem na osnovu takvih podataka bili bi nesigurni. Svaki takav podatak (npr. visina stabla) zapravo je realizacija nekakve slučajne varijable. Svaki puta kada bismo promatrali neki novi uzorak stabala koji je recimo rastao na drugačijem tlu, dobivali bismo drugačije podatke.

Opisivanjem i analiziranjem ovakvih podataka bavi se upravo statistika. Pomoću slučajne varijable definiramo realizacije nekog pokusa. Postoje diskretne i neprekidne slučajne varijable. Nama za opisivanje visine stabla treba neprekidna slučajna varijabla budući da je visina neprekidan numerički podatak. Općenito se nekakvi prirodni fenomeni opisuju normalnom neprekidnom slučajnom varijablom, pa tako i visina (pogledaj sliku). U statistici se može procjenjivati više parametara no ovdje ćemo pobliže objasniti kako procjeniti očekivanje pouzdanim intervalom. Očekivanje je kao što i sam naziv kaže - očekivana vrijednost nekog podatka, ono što očekujemo da će se dogoditi. Umjesto da procjenjujemo očekivanje samo jednom vrijednošću, možemo procijeniti nekakav interval u kojem se to očekivanje nalazi. Upravo taj interval naziva se pouzdani interval.

Zašto cijelo vrijeme govorimo o očekivanoj vrijednosti odnosno očekivanju? Zamislite situaciju da kupujete sadnicu neke biljke. Ukoliko pitate koliko će vam ta biljka narasti, dobiti ćete kao odgovor neki interval visine koji možete očekivati. Općenito, stabla jabuke mogu narasti između 2 i 4.5 metara, a to sve ovisi o kakvoj sorti se radi, održava li se to stablo u kontroliranom okolišu, itd.

Za potrebe našeg primjera, mi ćemo uzeti da naš voćnjak ima 100 stabala jabuka te da su one nižeg rasta. Visina naših stabala jabuka je normalno distribuirano obilježje te pretpostavimo da ne poznajemo varijancu (očekivano kvadratno odstupanje slučajne varijable od njenog očekivanja; raspršenje). Kako bi se odredio pouzdani interval kojim ćemo procijeniti očekivanje, ovdje se koriste pivotna veličina, kvantili Studentove odnosno normalne distribucije, no u te detalje nećemo ulaziti. Na kraju tog cijelog postupka dobije se pouzdani interval za očekivanje normalno distribuirane visine, koji u našem slučaju zovemo t-interval. Taj t-interval može imati pouzdanost od 95% ili 99%. Recimo da smo dobili da je naš interval pouzdanosti 95% te neka je to interval između 1.87 i 2.08 metara. To će značiti da na 100 stabala jabuke, visina od njih približno 95 će se nalaziti unutar tog pouzdanog intervala, a njih približno 5 će „ispasti“ van iz tog intervala. Dakle, na taj način mi smo procijenili interval u koji će u 95% ili 99% slučajeva „upasti“ visina naših stabala jabuke. Da smo istraživanje proveli na drugom voćnjaku odnosno na nekim drugim stablima jabuke, dobili bi drugačiji pouzdani interval koji bi bio blizu ovog našeg, ali ne nužno isti.

Upravo na taj način razmišljamo kada promatramo visinu stabla. U narodu bi rekli da će to stablo narasti oko 2 metra, ali najtočnije je odrediti pouzdani interval.

Dakle, kroz ovaj blog vidjeli smo zapravo jedan „opis“ pojma slučajnosti, kako se on tumači i što se može saznati ako promatramo samo visinu stabala. Statistika nije lagana grana matematike za savladati no zato uvijek možete naručiti instrukcije iz matematike kod naših instruktora na eMatematici i sigurno ćete savladati i taj dio gradiva!

Vaša eMatematika