Vjerujete li svojoj matematičkoj intuiciji?

 

Danas vam želimo pokazati kako se neke stvari koje se prvotno čine nemogućima zapravo mogu dogoditi. Mala je vjerojatnost da nas pogodi grom, a još manja da osvojimo na lutriji. Bez obzira na to, postoje ljudi koje je grom udario više puta, ali i oni koji su osvojili na lutriji dva puta. To nikako ne znači da se trebate bojati da će vas udariti grom ili kockati nadajući se da ćete osvojiti na lutriji, jer je i dalje jako mala vjerojatnost da se to dogodi. Međutim, vjerojatnost nije nešto što intuitivno i lako shvaćamo pa ćemo vam na slijedećim primjerima pokazati kako se lako možemo zavarati i pomoći vam da razlikujete ljudsku od matematičke intuicije.

 

Zamislite da vam neki roditelj koji kaže da ima dvoje djece, od kojih je barem jedna curica, postavi pitanje: „Koja je vjerojatnost da je i drugo dijete curica?“ Želimo znati vjerojatnost da ovaj roditelj ima dvije kćeri. Za odgovor na ovo pitanje puno bi ljudi tvrdilo nešto ovakvo: '' Znam da se ova obitelj sastoji od sina i kćeri ili dvije kćeri, što znači da je vjerojatnost da imamo dvije kćeri 50%.'' Pitala sam puno svojih prijatelja što misle i većina je tako odgovorila. U ovom problemu dosta je ljudi zaboravilo uzeti u obzir sve moguće načine na koje ljudi mogu imati dvoje djece, a to je vrlo bitna informacija u vjerojatnosnim računima. Roditelj može dobiti svoje dvoje djece na ove načine: prvo se rodi dječak, a zatim još jedan dječak. Drugi je način da se prvo rodi curica pa onda dječak. Treći, da se prvo rodi dječak pa curica, a četvrti da se prvo rodi jedna curica a zatim druga. Za ovaj problem nam prva kombinacija u kojoj su rođena dva dječaka ne daje bitnu informaciju i ne čini naš prostor događaja, stoga imamo tri moguće kombinacije. Curica pa dečko, dečko pa curica i dvije curice. Kako nas zanima kolika je vjerojatnost da roditelj ima dvije curice, odgovor glasi 1/3 ili 33.3%. Vjerojatnost dobivamo tako da gledamo omjer pogodnih događaja (što je u našem slučaju da imamo dvije curice što je jedan događaj, zato u brojnik stavljamo broj 1) i ukupnih mogućih događaja što je 3 jer imamo tri moguće kombinacije u kojoj je barem jedna curica. Ključ ovog problema jest kada roditelj kaže da je barem jedno dijete curica, ne specificira koje. Da je roditelj rekao ''Imam dvoje djece od kojih je mlađa curica'', tada bi vjerojatnost da su dvije curice bila 1/2 , tj. 50% kako većina nas intuitivno pretpostavi.

 

Još jedan zanimljivi kontraintuitivni problem poznat je pod imenom problem rođendana, a glasi ovako: Koliko velika treba biti grupa ljudi da bude više od 50% šanse da dvoje ljudi u grupi imaju isti rođendan? Pretpostavite da u grupi nema blizanaca, da je svaki rođendan jednako vjerojatan i da nema prijestupne godine. Uzmite trenutak za razmišljanje. Ja sam obrnula pitanje i pitala svoje prijatelje: ''Što mislite, kolika je vjerojatnost da u grupi od 23 ljudi bude dvoje koji imaju isti rođendan?'' Odgovori su bili od 0,1% sve do 15%. Točan odgovor glasi ovako: u grupi od 23 ljudi postoji 50,73% šanse da dvoje ljudi imaju rođendan na isti dan. Ali s 365 dana u godini, kako je moguće da je dovoljna tako mala grupa ljudi da bismo dobili vjerojatnost od 50%  za zajednički rođendan? Zašto je naša intuicija tako pogrešna? Ako imate znanje iz vjerojatnosti pokušajte izračunati sami, a ako ste tek početnik pratite ovaj postupak koji olakšava klasičan način računa kojem bismo svi prvome pristupili.

Koristiti ćemo i kombinatoriku, granu matematike koje se prvenstveno bavi brojanjem i kombiniranjem te se često koristi u teoriji vjerojatnosti. Prvi korak je obrnuti problem. Pokušaj računanja vjerojatnosti direktno pomoću kombinatorike vrlo je zahtjevan zato što je puno načina na koji možemo dobiti podudaranje dva rođendana u grupi ljudi. Umjesto toga, lakše je izračunati vjerojatnost da svačiji rođendan bude drugačiji. Kako nam to pomaže? Ili imamo podudaranje dva rođendana ili nemamo, stoga vjerojatnost za podudaranje i vjerojatnost za nepodudaranje mora biti 1, tj. 100%. Svi se događaji koje mi razmatramo sastoje od onih u kojima se rođendani podudaraju i onima u kojima se rođendani ne podudaraju. To znači da možemo naći vjerojatnost podudaranja oduzimanjem vjerojatnosti za nepodudaranje od 1, tj. 100%. To je jedan trik iz vjerojatnosti koji omogućava da ako tražimo događaj suprotan onom kojeg smo izračunali oduzmemo vjerojatnost tog događaja od 100% da bismo dobili vjerojatnost suprotnog događaja. Da bismo izračunali vjerojatnost za nepodudaranje, prvo računamo vjerojatnost da samo jedan par ljudi ima različite rođendane. Jedan dan od 365 u godini će biti rođendan od osobe (1), što ostavlja 364 dana u godini za rođendan osobi (2). Izgledi različitih rođendana za osobu (1) i (2) je 364/365 = 0.997 = 99,7%, to je vrlo veliko. Uvedimo i treću osobu (3). Izgledi da ona ima jedinstven rođendan u ovoj grupi od troje ljudi je 363/365 jer su već dva datuma zauzeta rođendanima osoba (1) i (2). Izgledi osobe (4) su 362/365 i tako do izgleda osobe (23) koje su 343/365. Pomnožimo li sve te izglede, dobivamo vjerojatnost da nitko ne dijeli rođendan. Ispada da ta vjerojatnost iznosi 0,4927, tj. 49,27%. Kada to oduzmemo od 100%, dobivamo da je vjerojatnost da imamo barem jedno podudaranje rođendana u grupi od 23 ljudi 50,73%. Kad kažemo da nešto ima vjerojatnost 50% najčešće nam pada na pamet bacanje novčića gdje je vjerojatnost da padne pismo 50% ista kao i vjerojatnost da padne glava. Ovaj problem je vrlo različit od tog problema te se zato vjerojatnostima ne treba pristupati uspoređujući ih s nečim što već znamo, već pomno proučavajući problem i svaku riječ jer ona može dati bitnu informaciju koja znatno mijenja sliku problema koju dobijemo na prvu.

 

Ako želite znati više o vjerojatnosti ili vam jednostavno kombinatorika i vjerojatnost nikako ne sjedaju (nemojte se bojati, većini je tako u početku) javite se našim instruktorima na eMatematika te zatražite online instrukcije iz matematike.

 

Vaša eMatematika