Derivacije na neformalan način

Budući da su novinski naslovi prepuni tema kao što su globalno zagrijavanja, efekt staklenika, ponekad se zapitamo na koji način bi se mogle predočiti promjene razine mora nastale uslijed djelovanja spomenutih čimbenika? Pri kojoj temperaturi će se određenom brzinom topiti ledenjaci? Na koji način se mijenja broj oboljelih uslijed izbijanja covid pandemije nakon mjesec dana od njenog početka? Odgovori na ova pitanja počivaju u matematičkoj analizi, a teme su usko povezane s problemom tangente i problemom brzine koje pak rješavamo derivacijama.

Ako promotrimo cijelo područje matematičke analize, zasigurno možemo reći kako i nije baš zahvalno pisati i govoriti o njenim postulatima i značajkama, a u isto vrijeme uspjeti doprijeti do svakog čovjeka. Zato ćemo u ovom blogu sagledati pojam derivacije na jedan pomalo (ne)formalan i primjenjiv način.

Kako bi se zaokružilo znanje o calculusu potrebno je imati znanja o graničnoj vrijednosti (limesima), derivacijama i integralnom računu (koji je sam po sebi antiderivacija); ova tri pojma su stupovi calculusa. Pošto sve u životu ima svoj tijek i redoslijed tako ima i matematika pa je stoga za razumijevanje derivacija neophodno poznavanje granične vrijednosti, odnosno limesa, no ovaj put nećemo razmatrati matematičke izvode i teoreme, nego ćemo promatrati razvoj i potrebu za nastankom derivacije, njenu primjenu u svakodnevnom životu i znanosti pa će i šturi pregled pojma limesa koji ćemo navesti kasnije biti dovoljan za razumijevanje teme ovog bloga. No, prije limesa i same derivacije, pogledajmo što je to u prošlosti dovelo do samog otkrića derivacija.

Dva matematičara, a ujedno i fizičara, s jedne strane Isaac Newton Englez, a s druge Gottfried W. Leibniz Nijemac; potpuno neovisni jedan o drugom u isto vrijeme su otkrili derivativni i integralni račun. Obojica su imali svoje motive, a svi motivi su počivali u fizikalnim problemima te derivacije možemo promatrati kao matematičko oruđe koje je nastalo u svrhu poopćenja i rješavanja fizikalnih problema, a kasnije će zauzeti važno mjesto u višoj matematici, iako ih danas ne možemo svrstati u oblast više matematike premda je naziv još uvijek tu, u međuvremenu je izgrađena hrpa stvari potpuno nezavisnih o calculusu, koje su od njega u svakom pogledu „više“.  

Newton je do tog koncepta došao 1666. godine proučavajući problem brzine tijela u danom trenutku, iako se vremenski  počeo ranije baviti tim problemom od Leibniza, Leibniz će biti taj koji će svoja otkrića objaviti prvi (za objašnjenje k tomu možemo pružiti odgovor kako je Newton bio ipak malo lijen u objavljivanju svojih radova u akademskoj zajednici). Leibniz je do tog koncepta došao 1674. godine baveći se problemom tangente na graf funkcije. Važno je istaknuti kako ovdje otprije nije postojalo samo rivalstvo na razini dvojice fizičara (matematičara), nego i na razini dviju nacija.

Vratimo se na pojam limesa, limes predstavlja graničnu vrijednost koja opisiva određenu funkciju čiji se argument „približava“ nekoj određenoj točki. Nakon limesa, možemo definirati i samu derivaciju, predmet deriviranja su funkcije, a sama derivacija opisuje brzinu promjene u odnosu na samu promjenu argumenta funkcije. Jednostavnijim riječima, deriviranjem funkcije, dobije se druga funkcija s istim argumentima pa je za određenu vrijednost argumenta kad promatramo derivaciju u točki, ako funkcija raste (povećava se vrijednost funkcije) jednako brzo kao i argument znači da je derivacija u toj točki 1, a ako funkcija raste brže odnosno sporije, derivacija je veća ili manja od 1, te je jednaka nuli ako je funkcija konstantna. S druge strane, ako funkcija pada (umanjuje se vrijednost funkcije dok argument raste), derivacija će biti negativna. Za neke funkcije derivacija ne postoji u nekim (ili u svim) točkama. Za funkcije kod kojih postoji derivacija, se koristi izraz derivativna, koji vrijedi za te točke, odnosno u tom djelu domenu.

Primjena derivacija se ogleda u brojnim granama, fiziku smo već spomenuli i problem brzine, pojavljuje se u dinamici, elektromagnetizmu pri određivanju jakosti struje, u kemiji za proučavanje kinetike kemijske reakcije, u biologiji za brzina rasta populacije, u građevinarstvu i tako dalje u brojnim znanostima. Od derivacija se ne može pobjeći, kako učenici često znaju upitati svoje profesore: „Koja je svrha toga, hoće li mi to trebati u životu?“, po svemu sudeći derivacije će nam trebati! Postoji tako jedna zgoda o Euklidu i o tome kako je proglasio jednog svog učenika nedostojnim njegove geometrijske škole, zato što ga je učenik pitao nakon prvog predavanja "a što će to meni u životu?". Zato ako niste dobro savladali gradivo o derivacijama, obratite nam se za online instrukcije na našoj platformi ematematika.

Pitanje Euklidovog učenika u jednu ruku ima svoju težinu pa nam i sama derivacija služi kao dokaz kako je matematika sam za sebe nepostojana te da ona možda ne bi postojala kad ne bi bilo fizike i ostalih znanosti jer ne bi imala praktičnu primjenu i rezultate. No, praktični rezultati  nisu esencijalni, njih su mjerilom proglasili fizičari da bi imali protiv težu čistoći matematike. Stoga možemo reći kako su fizika i ostale grane materija i samo materija te bez iste ne bi postojale, a matematiku bismo imali i s primjenom i bez nje. Nadamo se kako smo vam ovim blogom približili pojam derivacije na zanimljiv i (ne)formalan način.

Vaša eMatematika