Gaussova krivulja

 

Koliko puta smo bili razočarani ocjenom tijekom školovanja ili samo pomislili koliko je nepravedna bodovna granica? Jesmo li ikada pomislili, postoji li neka „normalna“ i realna raspodjela bodova na testovima? Neki od nas koji su zaljubljenici u teoriju grafova su se možda zapitali i koja bi krivulja vjerno predočila koeficijente inteligencije nasumično odabranih ljudi, ili pak učestalost po mjesecima u godini bolesti koja nema sezonske varijacije. Ovaj blog nam donosi odgovore na ova promišljanja i upite, a središnji pojam u kojem se kriju odgovori je Gaussova krivulja.

Gaussova, Laplace-Gaussova, normalna distribucija odnosno raspodjela, je raspodjela vjerojatnosti kontinuirane varijable, koja zauzima značajno mjesto u teoriji vjerojatnosti pa i samoj statistici. Ukoliko zaronimo u povijesni razvoj definiranja normalne raspodjele, odnosno Gaussove krivulje, možemo naići na povijesne izvore koji zasluge pripisuju matematičaru Abrahamu De Moivreu. Što je iz jednog kuta gledanja i točno, on ju je formulirao kao graničnu formu binomne raspodjele, u svojoj knjizi koju je izdao 1738. godine „Doktrine šansi“. No, iz drugog kuta, Moivreovo tumačenje i definiranje je bilo pomalo nejasno i nedostatno. Po Stiglerovim riječima Moivre je interpretirao svoje rezultate gotovo ekvivalentno interpretaciji približnog pravila za binomske koeficijente pri čemu je nedostajao koncept i same funkcije gustoće vjerojatnosti. Zahvaljujući njemačkom matematičaru, C. F. Gaussu poznajemo normalnu raspodjelu u punom opsegu definiranja same krivulje, koji 1823. godine objavljuje „Theoria combisisationum erroribus minimis obnoxiae" u kojoj uspostavlja postulate sljedećim statističkim oblastima poput metode najmanjih kvadrata, metode najveće vjerojatnosti pa i same normalne raspodjele. Doprinos definiranju, normalnog zakona o distribuciji dao je i francuski znanstvenik Pierre-Simon Laplace, no Laplacov doprinos ovom otkriću odveo je Laplaca u sasvim drugom smjeru te je iz toga pronikla laplacijanska distribucija. Pak s druge strane irski matematičar Adrian, neovisno o Gaussu istodobno postavlja dva izvođenja normalnog zakona vjerojatnosti, no nažalost postao je samo jedan u nizu od onih znanstvenika čiji suvremenici u danom trenutku nisu imali sluha za njihova otkrića. No, ono što Gaussa ističe u odnosu od Moivrea i Adriana je najjasniji i najkompaktniji koncept funkcije gustoće vjerojatnosti. Kako to obično biva, kada se na istom polju i istom konceptu pronađe više znanstvenika, najveći problem predstavlja imenovanje samog otkrića. Normalna distribucija od svog uvođenja poznata je pod mnogo različitih naziva: zakon pogreške, zakon mogućnosti pogrešaka, Laplaceov drugi zakon, Gaussov zakon etc. Međutim, do kraja 19. stoljeća neki su autori  počeli koristiti naziv normalna distribucija, gdje se riječ "normalan" koristila kao pridjev - izraz koji se sada smatra odrazom činjenice ta se raspodjela smatrala tipičnom, uobičajenom - pa tako i "normalnom".

Primjena se očituje značajno u biostatici, kao što su računanja tjelesnih težina određenog spola i dobne skupine, koeficijenta inteligencije izraženog u postotku određene populacije, a na posljetku i bodovnoj raspodjeli ocjena skupine studenata na način, da se od ukupnog broja studenata koji su prešli donju granicu prolaska napravi raspodjela tako da 15% studenata s najviše bodova dobije ocjenu izvrstan, sljedećih 34% vrlo dobar, nakon njih sljedećih 34% ocjenu dobar i onih 15% preostalih dovoljan (što se jasno da nazrijeti u grafičkom prikaz na slici u uvodu). Kao i u svemu, postoje odstupanja od normalne raspodjele, potpuna ili djelomična, kao što su pozitivno asimetrična raspodjela koncentracije kolesterola za odraslu američku populaciju, negativno asimetrična trajanje trudnoće, bimodalna koncentracija hormona u muškarcima i ženama i mnogi drugi primjeri.

Nadamo se kako smo ovim blogom odgovorili na neka pitanja i prikazali zanimljiviju stranu statistike. Ukoliko vam bude bila potrebna pomoć pri rješavanju sličnoga gradiva, skiciranja grafova pa i bilo koje grane matematike obratite nam se za online instrukcije i rješavanje zadataka.

 

Vaša eMatematika