Kompleksni brojevi na margini mašte i dodirljive realnosti

Što su to kompleksni brojevi? Što znači kad nekom pojmu dodijelimo epitet „kompleksan“? Svatko od nas kad čuje da je nešto kompleksno u svakodnevnom životu, otpuhne. Tako je i s prvim susretom s imaginarnom jedinicom, odnosno kompleksnim brojevima na satima matematike. Gdje se prvi put susrećemo i s odgovorom na pitanje: A svrha, gdje je uporaba? Odgovor se sam nameće, kako bi svaka kvadratna jednadžba imala rješenje, uvodimo kompleksni broj pa jednadžba X*2 + 1 = 0 koja nema realna rješenja, ima rješenja: X1 = i, X2 = -i.

 Što će nametnuti konkluziju kako je ponekad upravo baš matematika svrsishodna samoj sebi.

Kasnije će se kroz povijest matematike doći do zaključka kako svaka algebarska jednadžba stupnja n, ima točno n rješenja, što ne bi bilo moguće riješiti bez kompleksnih brojeva. Iako se prvi oblik zadatka s kompleksnim brojevima pojavljuje 50 godina pr. Krista u djelu Stereometrica, matematičara Herona iz Aleksandrije, problem rješavanja kubne jednadžbe bit će riješen tek u 16. stoljeću. Za potrebe rješavanja uvedeni su kompleksni brojevi i popratne operacije. Važnu okosnicu u razvoju kompleksnih brojeva načinio je Rene Descartes kada je uveo pojmove realni i imaginarni, o kojima ćemo nešto više u nastavku. Za pojam imaginarnog broja možemo zahvaliti Girolamu Cardanu, koji od 1545. godine kompleksne brojeve počinje nazivati „fiktivnima“. Imao je želju da podijeli broj 10 na dva dijela tako da njihov umnožak bude 40 te je ta rješenja pronašao komentirajući kako bi njihovo računanje ustaljenim putem bilo besmisleno i zahtjevno. Casper Wessel podarit će posljednji pečat kompleksnim brojevima 1799. godine uvodeći njihov grafički prikaz. U prvo vrijeme njegov rad neće dobiti na značaju, tek će mu se stotinu godina nakon odati priznanje. Neovisno o Wesselu, Gauss će netom nakon njega postaviti kompleksne brojeve u Gaussovu ravninu što će kasnije rezultirati općim prihvaćanjem istih. 1702. godine G. W. Leibniz je opisao kompleksne brojeve kao: „(…)prekrasni proizvod misaonog rada, gotovo amfibijski između stvari koje jesu i stvari koje nisu“. 

Kako bismo razmotrili elemente kompleksnog broja postavit ćemo relaciju i*2 = -1, a ako se sjetimo postulata kako se kvadratni korijen u skupu realnih brojeva može izvaditi samo iz ne negativnih brojeva, jer ne postoji realan broj koji kvadriran daje negativan broj, kako ćemo onda nazvati i = korjen iz -1, ako već imamo njegovo rješenje? Nazvat ćemo ga imaginarnom jedinicom pa će svaki broj oblika yi, gdje vrijedi kako y pripada skupu prirodnih brojeva, nazvati imaginarnim brojem, a tad će kompleksni broj biti svaki broj z koji se zapisiva z=x+yi. Gdje će x biti realan broj, odnosno x=Re(z), a y imaginaran broj, odnosno y=Im(z) te ćemo skup svih kompleksnih brojeva označiti s C={x+yi: x,y∈R}. Uz algebarski prikaz, važan je i trigonometrijski prikaz kompleksnog broja pri čemu vrijedi: z=x+yi=r(cosφ+isinφ), gdje je r modul kompleksnog broja, a tangens kuta φ dobiven imaginarnog dijela podijeljenog s realnim.

Kompleksni brojevi imaju konkretne i bitne uloge u različitim znanstvenim područjima i drugim područjima unutar tih znanosti. Tu spadaju obrada signala, elektrotehnika i elektromagnetizam, geometrija fraktala i trokuta, dinamika fluida, analiza vibracija, teorija kontrole i druge znanosti. Velika primjena kompleksnih brojeva je prisutna u elektrotehnici i elektromagnetizmu, preciznije vezana je uz primjenu u teoriji elektriciteta, odnosno izmjenične struje. Za opis izmjeničnog napona potrebna su dva parametra: faza i amplituda. Stoga se izmjenični napon opisuje uređenim parom amplitude i faze, što se može shvatiti kao vektor (radij-vektor točke) u ravnini s Kartezijevim koordinatnim sustavom ili kao kompleksan broj u kompleksnoj ravnini. To se vrlo često primjenjuje jer su računi jednostavniji. Naime, računi sa sinusima i kosinusima realnih brojeva se tako pomoću Eulerove formule svode na račune s eksponencijalnim funkcijama. Nadalje, kompleksni brojevi se često koriste u elektronici. Elektronika proučava i koristi sustave čiji se rad temelji na kontroli protoka elektrona i drugih nositelja električnog naboja od dijelova od kojih su izgrađeni. U ovom slučaju primjena kompleksnih brojeva pojednostavnjuje razumijevanje i analiziranje izmjeničnih signala. Signal je medij, odnosno nosilac određene informacije. Tako npr. električni signali nose informacije o temperaturi, o adresi Web poslužitelja, o visini glasa i tako dalje.

Kompleksni brojevi se upotrebljavaju u analizi signala i drugim srodnim poljima kao prikladan opis za periodičku izmjenu signala. Za sinusoidni val određene frekvencije, apsolutna vrijednost z predstavlja amplitudu, a argument od z predstavlja fazu.

Jos su dvije zanimljive discipline u kojima se primjenjuju kompleksni brojevi, a to su fraktali (za više, vidi blog o fraktalima) i teorija kontrole. Kontrolna teorija je interdisciplinarna grana inženjerske i računalne matematike koja se bavi proučavanjem ponašanja dinamičkih sustava s ulaznim jedinicama i kako se njihovo ponašanje mijenja ovisno o povratnim informacijama.

Najjednostavniji i zanimljiv primjer primjene kompleksnih brojeva je primjer jednog električnog piano-a čija svaka tipka proizvodi drukčiji ton. Kontrola glasnoće mijenja amplitudu (glasnoću) svih tipki za istu veličinu odnosno, iznos. Prikazano je tako da realni brojevi afektiraju signale. Ukoliko zamislimo filtere koji omogućuju da neke tipke proizvode dublje tonove, a neke nježnije, u  ovisnosti o frekvenciji, to predstavlja kompleksne brojeve.

Nadamo se kako vas je iznenadila široka primjena kompleksnih brojeva i kako sad njihovo učenje poprima sasvim drugi smisao. Ako imate problema u svladavanju gradiva kompleksnih brojeva, obratite nam se za online instrukcije na platformi ematematika.

Vaša eMatematika