Kaos

Leptirov učinak je ideja da mali uzroci kao što je zamah krila leptira u Brazilu imaju velike posljedice, nastanak uragana u Meksičkom zaljevu. Također, leptirov učinak nadahnuo je mnoge stvaratelje u svim umjetnostima. U popularnoj kulturi značenje leptirovog učinka svodi se na to da mala, čak i najmanja odluka koju donesemo može imati velike posljedice kasnije u našim životima. Razlog zbog kojih taj novi znanstveni fenomen fascinira mnoge jest vjerojatno pitanje koje postavlja: ''Koliko dobro uopće možemo predvidjeti budućnost?''

Unatoč golemim naporima znanstvenika u istraživanjima zakona prirode i velikim uspjesima na mnogim područjima, mnogi su znanstveni problemi, čak i oni jednostavni, godinama ostali potpuno nerazjašnjeni. Najpoznatiji su primjeri klima, turbulencije u fluidima, varijacije biljnih i životinjskih vrsta, srčane aritmije, rast i pad dionica itd. Takve nepravilne pojave bile su znanstvena nepoznanica sve do kraja 20. stoljeća. Nakon što je Newton došao do svojih zakona gibanja i gravitacije, sve se činilo predvidljivo. Mogli smo objasniti gibanja planeta i mjeseca, predvidjeti pomrčine i pojave kometa s velikom preciznošću, stoljećima unaprijed. Ali sam je Newton bio suočen s problemom kojega nikako nije mogao riješiti, problemom tri tijela. Koliko god da je pokušavao odrediti gibanje sustava Mjesec, Sunce i Zemlja, postajao je samo očajniji. Taj je problem ostao u povijesti dvjesto godina, nakon čega je poznati matematičar Henri Poincaré došao do razumijevanja da se taj problem niti ne može analitički riješiti kako je Newton mislio. Problem je puno složeniji. Poincaré je tako zakoračio u svijet kaosa, novu granu matematike i znanosti koja je u potpunosti promijenila pogled na svijet.

Kaos se našao u fokusu znanstvenika 1960ih godina kada je meteorolog Lorenz pokušao napraviti jednostavnu računalnu simulaciju atmosfere. Krenuo je od 12 jednadžbi s 12 varijabli kojima je opisivao atmosferu: tlak, temperatura, vlažnost... Koristio se računalom, printao je svaki vremenski korak te je promatrao kako se varijable mijenjaju s vremenom. Otkriće se dogodilo kada je Lorenz išao ponoviti račun, ali da ubrza izvršavanje računala unio je samo drugu polovicu prvotnih unesenih podataka. Novi izračuni pratili su stara neko vrijeme, no onda su u potpunosti počeli opisivati novu situaciju, neko drugo stanje u atmosferi, drugačije vrijeme. Lorenz je prvo pomislio da se računalo pokvarilo, ali nije. Pravi razlog za različite izračune bio je zbog toga što je printer zaokruživao brojeve na tri decimale, a računalo na šest. Kada je unio te početne uvjete, koji su se razlikovali manje od tisućinke, predvidio je novo vrijeme. Lorenz je pojednostavnio sustav jednadžbi na 3 jednadžbe s 3 varijable, ali ponovno je došao do istog problema. Kada bi promijenio brojeve samo malo, rezultati bi odstupali u velikoj mjeri. Lorenzov sustav pokazao je što se naziva velikom osjetljivosti na početne uvjete, a to je upravo glavno obilježje teorije kaosa.

U teoriji kaosa za prikaz gibanja koristi se fazni prostor. To je prostor u kojem su predstavljena sva moguća stanja sustava, pri čemu svako moguće stanje odgovara jednoj jedinstvenoj točki u faznom prostoru. Bitno je napomenuti da se krivulje u faznom prostoru nikada ne sijeku. To je zato što svaka točka jedinstveno opisuje stanje sustava i to stanje ima samo jednu budućnost. Stoga, nakon što smo odredili početno stanje, cijela budućnost sustava je predodređena. Prikaz jednog poznatog sustava u faznom prostoru je na slici. Ako vam se čini da se krivulje na slici sijeku, nije tako jer se radi o trodimenzionalnom prikazu.

Dakle, Lorenzov sustav možemo prikazati u trodimezionalnom faznom prostoru koji je prikazan na slici. Izaberimo bilo koju točku kao početno stanje i gledamo kako se sustav razvija. Pratimo točke u faznom prostoru koje kreću iz istog polazišta te nakon nekog kratkog vremena praćenja sličnih putanja počinju iscrtavati svoje potpuno međusobno različite putanje. Upravo to je prikaz velike osjetljivosti na početne uvjete. Treba naglasiti da nema ničeg nasumičnog u ovom sustavu, on je potpuno određen trima Lorenzovim jednadžbama, potpuno deterministički. Stoga, da je Lorenz unio svaki puta točno jednake početne uvjete, dobili bismo točno jednake rezultate. Ali ako je razlika u početnim uvjetima vrlo mala, ta će malena razlika biti toliko uvećana da možemo reći da opisuje nešto drugo. U realnosti nikada ne znamo početne uvjete do savršene preciznosti jer se oslanjamo na mjerne uređaje koji i sami nisu savršeni. Makar su nam danas dostupna superračunala i dalje ne možemo napraviti savršenu vremensku prognozu. Ne možemo tvrditi kakvo će vrijeme biti za mjesec dana. Atmosfera je kaotični sustav, stoga ako su mjerenja tlaka, temperature i ostalih varijabli u milijutinku decimale drugačiji od stvarnog stanja atmosfere, za rezultat možemo dobiti nešto nemoguće i u konačnosti neostvarivo. To nikako ne znači da nam teorija kaosa kazuje da ne možemo reći ništa o svijetu. Dakako, osim što je produbila naše znanje o samim osnovama zakona prirode, također imamo i rješenje. Pogledajmo ponovno Lorenzov fazni prostor. Počnemo li sa skupinom različitih početnih uvjeta i promatramo razvoj ovog sustava, vidimo da se točke počinju gibati po nekakvom obliku i to u nedogled. Taj oblik koji priliči leptiru je Lorenzov atraktor. Od tuda i dolazi famozno ime leptirov učinak. Za velik raspon početnih uvjeta sustav se razvija u stanje koje je na tom atraktoru, sustav se teži razvijati vrijednostima na atraktoru za razne početne uvjete. Vrijednosti sustava koje se dovoljno približe vrijednostima atraktora ostaju bliske čak i ako dođe do malih poremećaja u njihovim vrijednostima. Lorenzov atraktor je najpoznatiji primjer kaotičnog atraktora premda postoji još mnogo raznih atraktora koji opisuju razne kaotične sustave.

Koliko dobro onda možemo predvidjeti budućnost? Pa ne baš najbolje u dugoročnom smislu. Što dalje u budućnost želimo gledati, to predviđanje postaje teže. Kaos nam nameće granice na vrijeme, na našu predodžbu o prošlosti i budućnosti makar promatramo deterministički svijet. Ali bismo li uopće željeli živjeti u svijetu koji je sasvim predodređen još od trenutka njegova postanka? Kaos unosi nepredvidljivost u znanstveni determinizam. Kaos je svuda oko nas. Pogledajte kako se rasprostire dim u zraku, vrtloži voda u potoku, pogledajte oblake. U svom tom kaosu i dalje možemo pronaći red i pričati o svijetu kakav zaista jest.

Ono što možemo predvidjeti bolje od vremenske prognoze je da će vam naše instrukcije iz matematike pomoći u postizanju bolje ocjene.

Vaša eMatematika