Monty Hall problem – ispravno ponekad nije toliko očito

U ovom blogu donosimo jedan poznati vjerojatnosni problem poznat pod nazivom "Monty Hall problem". Problem je ime dobio po američkom TV voditelju Monty Hallu koji je u jednom od svojih kvizova uklopio problem koji ćemo u nastavku predstaviti.

Pred natjecateljem su bila postavljena troja zatvorena vrata te mu je rečeno da je iza jednih od njih auto, a iza preostalih dvaju koze (s time da je raspored auta i koza iza ova troja vrata slučajan). Naravno, natjecatelj ne zna iza kojih se vrata nalazi auto, a iza kojih su koze. Igra se sastojala u tome da natjecatelj odabere jedna vrata, te da, nakon što ih otvori, kući odnese plijen koji se nalazi iza njih. Cilj je, naravno, bio osvojiti auto.

Međutim, postojao je još jedan ključni međukorak. Nakon što je natjecatelj odabrao svoja vrata, a prije nego je imao priliku otvoriti ih, voditelj kviza (koji je znao raspored auta i koza iza vratiju) je otvorio jedna od preostalih neodabranih vrata iza kojih se nalazila koza i ponudio natjecatelju mogućnost da promijeni svoj izbor, odnosno da odustane od prvotno odabranih vrata i odabere druga (još neotvorena) vrata.

Većina natjecatelja u kvizu postupila je matematički neispravno. Ovo je dobar trenutak da stanete s čitanjem teksta i stavite se u položaj natjecatelja. Što biste učinili i zašto?

U nastavku donosimo rješenje ovog problema:

Početna vjerojatnost da je natjecatelj odabrao vrata iza kojih se nalazi auto iznosi 1/3 (jer se iza samo jednih vrata nalazi auto). To znači da je šansa da odabere "pogrešna" vrata jednaka 2/3. Uzmimo za primjer da je natjecatelj odabrao vrata broj 1. U tom trenutku vjerojatnost da se auto nalazi iza vrata broj 1 iznosi upravo 1/3, a šansa da je auto iza nekih od preostalih vrata (broj 2 i 3) iznosi 2/3. Nakon toga, voditelj mu otvara neka vrata (različita od onih koje je odabrao) i pokazuje mu da se iza njih nalazi koza. Voditelj postavlja pitanje hoće li promijeniti vrata ili će ostati pri prvotnom odabiru. Većina natjecatelja bila je naivna i razmišljala na sljedeći način: "Preostala su još dvoja vrata, iza jednih je auto, iza drugih koza. Dakle, vjerojatnost da je moj prvotni odabir točan sada iznosi 1/2. Ostajem pri svojem prvom odabiru". Međutim, ovo je loš potez natjecatelja jer si je upravo propustio povećati šanse za osvajanje automobila. Zašto? Vratimo se na početak priče. Natjecatelj je odabrao vrata broj 1 i vjerojatnost da osvoji auto tada iznosi 1/3. To pak znači da je auto iza vrata 2 ili 3 s vjerojatnošću od 2/3. Voditelj nam je otvorio jedna od tih vrata 2 ili 3 iza kojih se nalazi koza (recimo npr. vrata broj 3). Korigirajmo sada zaključak iz prethodne rečenice: Vjerojatnost da je auto iza vrata broj 1 iznosi 1/3, a vjerojatnost da je auto iza vrata 2 ili 3 iznosi 2/3. Međutim, znamo da auto nije iza vrata 3, dakle vjerojatnost da je auto iza vrata broj 1 sada iznosi 1/3, a vjerojatnost da je auto iza vrata broj 2 sada iznosi 2/3! Dakle, natjecatelj bi mijenjanjem vrata povećao šanse za osvajanje auta čak 2 puta!

Obzirom da smo Vam otkrili rješenje ovog problema, ostavljamo i jedan zadatak bez rješenja koji je u principu istovjetan problemu Monty Hall, ali ima malo drugačiju priču.

Tri zatvorenika (recimo A, B i C) su zatvorena svaki u svojoj ćeliji i osuđena na smrt. Upravitelj zatvora je izabrao jednog od ova tri zatvorenika slučajnim izborom i pomilovao ga. Zatvorski čuvar zna koji je zatvorenik pomilovan, ali to ne smije reći. Zatvorenik A moli zatvorskog čuvara za identitet jednog od preostalih zatvorenika (dakle B ili C) koji će biti pogubljen i kaže: "Ako će B biti pomilovan, reci mi ime zatvorenika C, ako će C biti pogubljen, reci mi ime zatvorenika B, a ako ću ja biti pogubljen, onda baci novčić kako bi odlučio hoćeš li mi reći ime zatvorenika B ili C". I čuvar popusti pa mu reče da će zatvorenik B biti pogubljen. Zatvorenik A se razveseli jer je uvjeren da mu je vjerojatnost preživljavanja narasla s 1/3 na 1/2, jer se sada borba za pomilovanje vodi između njega i zatvorenika C. Zatvorenik A potajno sve to kaže zatvoreniku C, te se i on razveseli, ali on je uvjeren da je vjerojatnost preživljavanja za zatvorenika A ostala 1/3, dok je njegova narasla na 2/3. Tko ima pravo na veselje?

Ukoliko imate pitanje oko ovog problema slobodno nam se javite mailom. Online instrukcije iz matematike iz gradiva teorija vjerojatnosti i kombinatorika predstavljaju posebno zadovoljstvo za nekolicinu naših najboljih instruktora.

Vaša eMatematika