Povijest brojanja - primitivno brojanje

Rođenje ideje broja skrivena je u dalekoj prošlosti naših predaka. Antropolozi smatraju da nema kulture u povijesti koja nije razvila potrebu za brojanjem. Naši su pretci trebali obilježiti broj stoke, predmeta razmjene te bilježiti prolazak vremena. Obilježavanje broja, veličine, poretka i oblika slijedi iz ljudske potrebe za komunikacijom i trgovinom. Razvoj brojanja počinje otkad su naši pretci živjeli samački lovačko-sakupljački život u paleolitiku te se nastavlja prelaskom na proizvodnju hrane i stvaranja zajednica u neolitiku, a naposlijetku formiranjem drevnih civilizacija. Brojanje i brojevni sustavi napredovali su od urezivanja oznaka na predmete i brojanja na prste prije više od 40 000 godina do korištenja skupa simbola i pravila kojima danas možemo zapisati svaki zamislivi broj.

Najranija tehnika brojanja koja je ostala zabilježena u povijesti jest označavanje predmeta. Primitivni ljudi urezivali su zareze u predmete, a najpoznatiji materijalni ostaci koje danas imamo kao povijesne dokaze su izrezbarene kosti životinja. Svaki zarez označavao je jedan određeni predmet te su na taj način trajno zabilježavali broj vlastitog posjeda. Na kosti vuka pronađene 1937. godine u tadašnjoj Čehoslovačkoj, koja potječe iz kasnog kamenog doba, urezano je 55 oznaka te se smatra da su te oznake broj lovina. Oznake na kostima pronađene u Francuskoj krajem 19. st., grupirani su nizovi za koje se smatra da označavaju mjesečeve faze i predstavljaju primitivni lunarni kalendar. U Južnoj Americi, prije doticaja njenih stanovnika s Europljanima, carstvo Inka razvilo je khipu. Khipu je sustav brojanja i bilježenja podataka koji je napravljen od niza užeta raznih boja privezanih za glavno uže. Svako uže je označavalo predmet koji je bio brojan, a brojalo se vezanjem čvorova na užetima. Khipu na kečuanskom jeziku znači čvor. Brojčane vrijednosti određivane su različitim čvorovima i njihovim mjestima na užetu. Na primjer, broj jedan je nosio oznaku čvora u obliku osmice. Ako nije bilo čvora, prazno je mjesto označavalo broj nula, a brojevi od 2 do 9 označavani su višestrukim čvorovima. Koristili su dekadski sustav, tako da su najniže pozicije na užetu označavale jedinice, pozicije iznad desetice, iznad njih stotice itd.

Još jedna velika kultura koja je razvila vlastiti numerički sustav su Maye. Oni su jedni od prvih civilizacija koje su koristile glife, tj. apstraktne pisane oznake za brojeve. Mayska kalendarska godina ima 365 dana, podijeljena je na 18 mjeseci od kojih svaki ima 20 dana s ostatkom od 5 dana. To je navelo Maye da usvoje brojevni sustav u bazi 20. Također, Maye su prva civilizacija koja je imala simbol za nulu. Simbol za nulu nalikuje školjki, jedinica je jedna točka, pet je ravna vodoravna crta. Njihovim međusobnim kombiniranjem dobivaju se ostali brojevi. Još su neki načini na koji su ljudi brojali za koje nemamo materijalnog dokaza: sakupljanje kamenja, školjaka te brojanje ''na prste''. U nekim su naseljima kamenim stupovima označavali broj naseljenika. Ovce su, na primjer, brojali tako da su jednu po jednu puštali kroz prolaz te za svaku ovcu koja je prošla premjestili kamenčić s jedne hrpe na drugu. Povećavanjem posjeda razvila se potreba da različitim značkama označavaju različite predmete. Nakon nekog vremena, značke su postale prekompliciran način brojanja jer se povećala brojnost i raznolikost posjeda čovjeka te su oko 3000. g. pr. Kr. počeli pisati na glinene pločice.

U Neolitiku su ljudi počeli formirati zajednice, proizvoditi hranu i trgovati. Više nisu živjeli izolirane živote te se stvorila potreba za razvojem sofisticiranijeg brojanja. Prvi znani zapisnik nastao je iz ideje sustava brojanja korištenjem malih glinenih žetona. Zamislimo da naš predak ima 500 ovaca i da želi zabilježiti njiihov broj. Bilo bi vrlo nepraktično čuvati 500 žetona za sve ovce koje ima. Također naš predak ima i 300 koza. Da bi zabilježio ukupan broj stoke, naš je predak osmislio glinene žetone koji su se razlikovali po obliku i veličini. Oblik je označavao vrstu stoke, a veličina njihov broj. Glavna funkcija žetona bila je pratiti doprinos i višak robe te njihovu preraspodjelu. Brojanje pomoću žetona odražavalo je razinu spoznaje predpismenih kultura. Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje količine robe vršeno je ručnim pomicanjem s jedne hrpe na drugu. Kako bi osigurali da ih nitko ne može prevariti promijenivši broj i oblik žetona, izumili su glinenu omotnicu u obliku šuplje kugle u koju su stavljali žetone te su omotnicu zapečatili. Takva je glinena omotnica prikazana na slici. Ako bi itko osporio broj, mogao bi razbiti glinenu omotnicu i izvršiti ponovno brojanje. Prije nego što su zapečatili glinene omotnice, ispisali su ih znakovima koji su označavali broj i vrstu čuvanih žetona.Često su znakovi nalikovali žetonima čuvanim u glinenim omotnicama.

Žetoni su igrali važnu ulogu u razvoju brojanja, obrade podataka i komunikacije na drevnom Bliskom Istoku te su na njima zabilježeni prvi pisani brojevi. Nakon nekog vremena, žetoni su postali prekompliciran način brojanja jer se povećala brojnost i raznolikost čovjekovog posjeda te su oko 3000. g. pr. Kr. počeli pisati na glinene pločice.

Stare su civilizacije s napretkom dolazile do vlastitih načina bilježenja većih brojeva. Drevni brojevni sustavi bili su jednostavan skup simbola pisanih uzastopce. Problem takvog zapisivanja brojeva je u tome što je bilo teško prikazati velike brojeve, a posljedično i računati s njima. Put k modernom brojevnom sustavu leži u pozicijskoj notaciji. Što to znači? Uzmimo broj 125 napisan u svakodnevno korištenom dekadskom sustavu. Znamo da ga možemo zapisati kao zbroj 1 x 100 + 2 x 10 + 1 x 5 = 125. U dekadskom sustavu koristimo samo 10 simbola: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Mjesto na kojem se simbol nalazi označava njegovu vrijednost. Tako u broju 125 imamo jednu stoticu, dvije desetice i pet jedinica. Korištenjem samo tri znaka zapisali smo ne tako mali broj. Zamislimo sada da broj 125 zapisujemo pomoću zareza. Treba nam 125 oznaka da bismo dobili vrlo nepregledan zapis. Neke su civilizacije za svaki broj imale drugi simbol. Teško je zapamtiti toliko simbola i praktično se brojevno izražavati. Pozicijski sustav omogućuje ponovno iskorištavanje malog broja simbola dodjeljivanjem različitih vrijednosti na temelju njihova položaja u pisanom nizu.

Nekoliko je civilizacija nezavisno razvilo pozicijsku notaciju. Indijski su matematičari usavršili taj sustav te su tijekom idućih stoljeća arapski trgovci i učenjaci rasprostrli novostečeno znanje po Europi. Drevne su civilizacije poput Egipta i Babilona razvijale vlastite brojevne sustave koji su temelj današnjih, bez kojih se ne bismo mogli matematički izraziti. Pratite li naš blog na ematematici redovito ili nas čitate samo kada vam trebaju instrukcije iz matematike, u jednom od idućih blogova moći ćete saznati više o brojevnim sustavima koji su temelj današnje matematike.

Vaša eMatematika