Zlatni rez i suncokret

Zlatni rez se stoljećima smatra simbolom ljepote te se često koristi kako u mističnim ritualima i vjerovanjima tako i u alternativnoj znanosti. Dvije su veličine u zlatnom omjeru ili zlatnom rezu ako je njihov omjer jednak omjeru njihove sume i većoj od dvije veličine. Zlatni rez je reprezentiran iracionalnim brojem Phi koji iznosi Φ = 1,61803398875 ..... Ljudi tvrde da broj Φ pronalazimo na neočekivanim mjestima. Tako je Φ dobio mistični status jer kako ljudi misle da je to što ga pronalazimo na mnogim mjestima nekakav znak, da se ne radi o slučajnosti već o znaku tajne u svemiru. Ali je li zaista tako? Gdje završava istina o Φ i počinje mit?

Euklid je bio jedan od prvih koji je primjetio da je Φ iracionalan. Uvidio je da postoji jedan poseban način da podijeli dužinu. Omjer cijele duljine dužine prema duljem dijelu jednak je omjeru duljeg dijela naprama kraćeg i taj omjer upravo odgovara broju Φ. Stoljećima nakon Euklida, veliki matematičar Fibonacci posvetio se brojevima koji u Euklidovo geometrijsko vrijeme nisu bili dio shvaćanja matematičkog svijeta. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144..... to su Fibonaccijevi brojevi. Oni tvore Fibonaccijev niz koji dobivamo tako da je svaki broj u nizu zbroj dva prethodnika. Fibonacci je odgovoran za mitološko shvaćanje broja Φ. Kako je Fibonacci uveo arapske brojeve u Europu, napisao je knjigu Liber Abaci. U njoj je s puno matematičkih primjera i zadataka obrazovao ljude o matematici. Ona je najviše bila u interesu trgovcima koji su bili najveći korisnici matematike u to vrijeme. U 12.-om poglavlju knjige stajao je problem o zečevima po kojem je Fibonacci postao poznat. Zamislite par zečeva, muško i žensko. U drugom mjesecu njihova života ženka daje mlade i to par zečeva, također muško i žensko. Koliko će onda imati zečeva nakon godinu dana? Svakog mjeseca broj parova zečeva jednaka je sumi parova zečeva prethodna dva mjeseca. Nakon godinu dana stoga imamo 144 parova zečeva, što je Fibonaccijev broj. Kakve to ima veze sa zlatnim rezom? Ako bismo nastavili pobrojavati Fibonaccijeve brojeve, omjer susjednih brojeva sve bi se više, što su brojevi veći, približavao broju Φ. Bitno je samo da red brojeva prati Fibonaccijevo pravilo, a to je da dva prethodnika zbrojena daju sljedbenik. To je tek nekoliko stoljeća kasnije ustanovio Kepler i tada su Fibonaccijevi brojevi i broj Φ postali povezani i polako postajali dio mita. Ljudi tvrde da vide Φ posvuda. Smatra se da je idealan omjer čovjekove visine i udaljenosti pupka od stopala Φ. Ova tvrdnja je presubjektivna da bi se mogla smatrati matematičkom istinom. Što je idealan čovjek? Kako definirati takvog čovjeka da se svi možemo složiti s tom definicijom? Neki pak tvrde da su piramide u Gizi, Notre Dame, Partenon i Taj Mahal građeni po zlatnom rezu. Ovdje se susrećemo s pogreškom u zaključivanju. Te građevine zaista jesu lijepe, ali možemo ih mjeriti na razne načine, tražiti omjere različitih dijelova građevine i dobiti nekakav približni broj 1.61, ali to nije Φ. Bitno je naglasiti da je Φ iracionalan broj i iznosi točno koliko iznosi. Također, ako tražimo takav omjer vrlo se lako možemo uvjeriti da smo ga našli, ali to nikako nije dokaz da su te građevine građene po zlatnom rezu. Naravno, to ne znači da su sve tvrdnje o pronalasku broja Phi u prirodi lažne.

Redovi (ili ako malo boje pogledamo, spirale) sjemenki suncokreta i šišarki uvijek se zbrajaju s Fibonaccijevim brojevima. Tratinčica ima Fibonaccijev broj latica. Naše biljke ne rastu na ovaj način jer primaju nekakav tajanstveni, kozmički nalog. Rade to jer je to najučinkovitiji način za spakirati što više sjemena u mali prostor i postaviti na stabljiku što više listova. Velik broj listova omogućuje više fotosinteze. Zamislite da ste suncokret i želite spakirati što više sjemenki od središta rasta. Postavite jednu sjemenku te zatim u krug u nekom koraku postavljate drugu pa treću itd. Ako svaku sjemenku postavimo na ½, ¼, 5/547, ili bilo koji drugi racionalni korak dalje od prve, dobivat ćete šiljke, nešto nalik Suncu koje crtamo na papiru s krugom i šiljcima. To nije najbolji način da spakiramo sjemenke u što manji prostor jer između šiljaka postoji puno neiskorištenog prostora. Ako želimo spakirati sjemenke trebali bismo to raditi kao da crtamo nekakvu spiralu krenuviši od centra. Za to koristimo korake za postavljanje iduće sjemenke u niz iracionalnih brojeva, tako iscrtavamo spirale. Najbolju spiralu dobivamo ako svaki korak radimo za Φ. Razlog tome je u iracionalnosti broja Φ. Φ je najiracionalniji broj jer se ne može aproksimirati tako lako kao neki drugi iracionalni brojevi kad ga zapišemo kao kontinuirani razlomak.

Kontinuirani razlomak je izraz dobiven iterativnim postupkom predstavljanja broja kao zbroja njegovog cjelobrojnog dijela i recipročnog broja drugog broja, zatim zapisivanje ovog drugog broja kao zbroja njegovog cjelobrojnog dijela i drugog recipročnog, i tako dalje. Znamo da se racionalni brojevi mogu zapisati u obliku razlomka, ali iracionalni ne. Takva iteracija ide do beskonačnosti stoga često aproksimiramo zapis iracionalnog broja nekim razlomkom. Broj π možemo lako aproksimirati nakon člana u raspisu kontinuiranog razlomka koji je velik, ali Φ nije takav broj. On se može zapisati kao kontinuirani razlomak (1 + 1/(1+1/(1+1/1+...... i tako u beskonačnost. Ne možemo odrezati jedan dio razlomka koji bi ostavio broj Φ bez da izgubimo njegovu vrijednost u ostatku kojeg smo odbacili. Zato Φ, za razliku od broja π ili korijena iz 2, nikada neće biti dobro aproksimiran. Tu je činjenicu iskoristila priroda u pakiranju sjemenki i rastu listova. Dobri su primjeri ananas, artičoka, suncokret i ruža; ali i neke druge biljke. Pratimo li njihove spirale koje tvore svojim listovima i sjemenkama možemo vidjeti uzorke koji odgovaraju Fibonaccijevim brojevima.

Čak je i Salvador Dali iskazivao zaluđenost zlatnim rezom i proporcijama koje matematika donosi na svijet. Uistinu je vidio ljepotu u tome. Makar zlatni rez nije mistična tvorevina svemira, možemo vidjeti ljepotu u matematičkoj jednostavnosti. Matematika otkriva ljepote prirode te nas često iznenađuje u otkrićima o prirodi koja se mogu napisati vrlo jednostavnim matematičkim jednadžbama. Zato vas motiviramo da učite matematiku te vam na eMatematici želimo pokazati da matematika nije strašna već lijepa. Uvijek vam stojimo na raspolaganju za dodatne informacije i online instrukcije iz matematike.

Vaša eMatematika