Paradoksi

Može li svemoćno biće stvoriti kamen toliko težak da ga ne može podići?
Najveći grčki lažljivac kaže: '' Ja lažem.'' Laže li on ili govori istinu?
Postoji li skup koji sadrži sve skupove?
Možda se pitate kakva su to pitanja, ali radi se o paradoksima. Većina bi nas nakon ovakvih pitanja odgovorila kao Sokrat: ''Znam da ništa ne znam.'' No i taj je odgovor sam po sebi paradoks.

Paradoks je bilo koji iskaz za koji se čini da proturječi samom sebi dok istodobno djeluje potpuno logično. Postoje mnogi paradoksi za koje se zna da su sami po sebi zapravo nevaljani argumenti, ali koji su ipak vrijedni u promicanju kritičkog mišljenja (Zenonov paradoks, Djedov paradoks...) Drugi su paradoksi otkrili pogreške u definicijama za koje se pretpostavljalo da su stroge i doveli su do ponovnog uspostavljanja aksioma matematike i logike (Russellov i Cantorov paradoks).

Svojstvo najvećeg grčkog lažljivca je da laže. Stoga ako kaže ''Ja lažem'' znači da je ta tvrdnja neistinita. Ako ju negiramo ispada ''Ja ne lažem'' što navodi na zaključak da lažljivac govori istinu, ali on je lažljivac stoga ne može govoriti istinu. Ovo je poznati paradoks lažljivca. Sad smo vidjeli da uz neke elementarne pretpostavke o istini i logici dolazi do logične katastrofe. Koji je širi značaj takvog rezultata? S vremena na vrijeme za lažljivca se tvrdi da nam pokazuje nešto dalekosežno o filozofiji. Na primjer, pokazuje da je svijet u biti 'nepotpun' u nekom smislu i da ne može biti sveznajućeg bića. Spomenuta nepotpunost preslikava se i na matematiku, a s njome se ona provlači i kroz ostale znanosti.

Razmotrimo skupinu brijača koji briju samo one muškarce koji sebe ne briju. Pretpostavimo da u ovom skupu postoji brijač koji se ne brije; tada se prema definiciji skupa mora obrijati. Ali niti jedan brijač iz skupa ne može se obrijati. Kakve onda veze imaju paradoksi s matematikom? Paradoks brijača zapravo je interpretacija Russellovog paradoksa (Bertrand Russel, veliki matematičar 20. st). Prvo treba reći nešto o teoriji skupova i skupovima koji su temelj matematike.

Skupovi su od velike važnosti u matematici. Većina matematičkih objekata (brojevi, relacije i funkcije) definiraju se pomoću skupova. Najvažnije svojstvo skupa je da može imati elemente, koji se nazivaju članovi skupa. Dva su skupa jednaka kad imaju iste elemente. Neki poznati skupovi u matematici su skupovi brojeva, npr. prirodnih, cijelih, racionalnih, iracionalnih, realnih i kompleksnih. Prije nego je uočen Russelov paradoks koristila se naivna teorija skupova. Naivna teorija skupova definira skup kao bilo koju dobro definiranu kolekciju različitih elemenata, ali problemi proizlaze iz neodređenosti izraza dobro definirani. Pretpostavka da se bilo koje svojstvo može koristiti za formiranje skupa, bez ograničenja, dovodi do paradoksa. Jedan od uobičajenih primjera je Russellov paradoks: ne postoji skup koji se sastoji od "svih skupova koji se ne sadrže". Stoga dosljedni sustavi teorije naivnih skupova moraju sadržavati neka ograničenja na načelima koja se mogu koristiti za oblikovanje skupova.

Russell je postavio problem ovako: neka je R skup svih skupova koji nisu članovi samih sebe. Ako R nije član samoga sebe, tada njegova definicija podrazumijeva da je član samoga sebe; ako je član sebe, onda nije član sebe, jer je skup svih skupova koji nisu članovi sebe. Rezultirajuća kontradikcija jest Russelov paradoks. Stvarajući paradoksalne skupove poput ovih, Bertrand Russell i drugi matematičari pokazali su važnost uspostavljanja pažljivih pravila prilikom stvaranja skupova, što je postavilo temelje matematici 20. stoljeća. Russellov paradoks najpoznatiji je od logičkih ili teoretski postavljenih paradoksa.

U popularnoj kulturi paradoksi se često koriste kada u radnji dolazi do putovanja kroz vrijeme (Back to the future) , samoispunjavajućih proročanstava (Harry Potter), ali isto tako i u razvijanju satire i prikazivanju apsurda u svijetu s kojima se svakodnevno susrećemo (Kvaka 22). Uobičajena upotreba riječi "paradoks" često se odnosi na izjave koje su ironične ili neočekivane, kao što je paradoks „da je stajanje zamornije od hodanja''.

Do paradoksa dolazi kada koristimo riječi sve ili ništa. Takav je primjer nezaustavljiva sila koja pokreće nepomični predmet. Što je bilo prije svega? Je li Bog svemoguć ako ne može stvoriti kamen toliko težak da ga ne može podići? Matematičari Russell, Cantor i Gödel zato su radili na temeljima matematike jer je ona jezik kojom znanost govori da bismo izbjegli probleme koji proizlaze iz tako postavljenih teorija, jer ono što znanost želi jest opisati svijet kakav je.

Vaša eMatematika