Blog

Odavno je poznato da je matematika prisutna svuda oko nas. Gotovo sve u prirodi je određeno matematičkim formulama pa tako i naše tijelo. Matematika se očituje u anatomiji ljudskog tijela, od najsitnijih stanica do načina na koji se krećemo i dišemo. Stoga možemo reći da živimo u svijetu matematike

Objavljeno: 04. Prosinac 2021

Primjer: Duže vrijeme promatramo neku populaciju gljiva koja se razmnožava nespolno te smo došli do saznanja da svaka gljiva ima 0 potomaka s vjerojatnošću 1/12, jednog potomka s vjerojatnošću 2/3 te dva potomka s vjerojatnošću 1/4. Odredite vjerojatnost izumiranja populacije gljiva koja starta s jednim predstavnikom (kao na naslovnoj slici) te odredite očekivani broj gljiva u n-toj generaciji.

Objavljeno: 13. Studeni 2021

Za sve Vas koji ste pogledali seriju „Squid game“ u nastavku donosimo nekoliko matematičkih i vjerojatnosnih problema vezanih uz jednu od igara.

Objavljeno: 29. Listopad 2021

Budući da su novinski naslovi prepuni tema kao što su globalno zagrijavanja, efekt staklenika, ponekad se zapitamo na koji način bi se mogle predočiti promjene razine mora nastale uslijed djelovanja spomenutih čimbenika? Pri kojoj temperaturi će se određenom brzinom topiti ledenjaci? Na koji način se mijenja broj oboljelih uslijed izbijanja covid pandemije nakon mjesec dana od njenog početka? Odgovori na ova pitanja počivaju u matematičkoj analizi, a teme su usko povezane s problemom tangente i problemom brzine koje pak rješavamo derivacijama.

Objavljeno: 23. Listopad 2021

Koliko puta smo bili razočarani ocjenom tijekom školovanja ili samo pomislili koliko je nepravedna bodovna granica? Jesmo li ikada pomislili, postoji li neka „normalna“ i realna raspodjela bodova na testovima? Neki od nas koji su zaljubljenici u teoriju grafova su se možda zapitali i koja bi krivulja vjerno predočila koeficijente inteligencije nasumično odabranih ljudi, ili pak učestalost po mjesecima u godini bolesti koja nema sezonske varijacije. Ovaj blog nam donosi odgovore na ova promišljanja i upite, a središnji pojam u kojem se kriju odgovori je Gaussova krivulja.

Objavljeno: 21. Listopad 2021

Guglanje, pojam koji označava pretraživanje Interneta upotrebom Google tražilice, već se
duboko ukorijenio u hrvatski jezik. Ovisno o vlastitim interesima svakodnevno guglamo kako
bismo saznali razne informacije. Na Internetu možemo pronaći gotovo sve što nam padne na
pamet, od recepata, glazbe, slavnih ličnosti, auta do znanstvenih istraživanja i najnovijih
događaja u svijetu. Informacije iz cijelog svijeta dostupne su nam u nekoliko klikova. No, jeste li
se ikada pitali kako Google radi? Na koji način rangira rezultate pretraživanja?

Objavljeno: 29. Rujan 2021

Može li svemoćno biće stvoriti kamen toliko težak da ga ne može podići?
Najveći grčki lažljivac kaže: '' Ja lažem.'' Laže li on ili govori istinu?
Postoji li skup koji sadrži sve skupove?
Možda se pitate kakva su to pitanja, ali radi se o paradoksima. Većina bi nas nakon ovakvih pitanja odgovorila kao Sokrat: ''Znam da ništa ne znam.'' No i taj je odgovor sam po sebi paradoks.

Objavljeno: 22. Srpanj 2021

Euklid, otac geometrije, prvi se okušao u konstrukciji pomoću šestara i ravnala te je otkrio kako konstruirati zbrojeve, razlike, umnoške, omjere i kvadratne korijene zadanih duljina. Mogao je konstruirati i polovicu zadanog kuta, kvadrat čija je površina dvostruko veća od površine drugog kvadrata itd. Ali nije mogao konstruirati trećinu zadanog kuta, kvadrat s istom površinom kao zadani krug ili pravilni mnogokut s drugim brojem stranica, niti su mogli konstruirati stranicu kocke čiji bi volumen bio dvostruko veći od volumena kocke s danom stranicom. Kako je Euklid došao do tih problema?

Objavljeno: 06. Srpanj 2021

Brojna istraživanja otkrila su da žene u STEM poljima objavljuju manje, manje su plaćene za svoja istraživanja i ne napreduju u odnosu na muškarce u svojoj karijeri. Statistički podaci prikazuju kako su manje od 30% svjetskih istraživača žene. Nažalost, to nije ništa novo. Zašto su žene tako malo zastupljene u znanosti još u povijesti? Ima mnogo razloga. Smatra se da su pak one žene koje su uspjele i bile izuzetak pretežno muškoj znanstvenoj zajednici u povijesti, potjecale iz imućnih obitelji. Problem je bio i ostao naravno, u obrazovnom sustavu. Žene iz imućnih familija imale su mogućnost obrazovanja od kuće jer do 20. stoljeća nije bilo moguće da budu dio sveučilišta. Velik je to propust čovječansta jer koliko smo neotkrivenih genija na taj način zanemarili...

Objavljeno: 24. Svibanj 2021

Zlatni rez se stoljećima smatra simbolom ljepote te se često koristi kako u mističnim ritualima i vjerovanjima tako i u alternativnoj znanosti. Dvije su veličine u zlatnom omjeru ili zlatnom rezu ako je njihov omjer jednak omjeru njihove sume i većoj od dvije veličine. Zlatni rez je reprezentiran iracionalnim brojem Phi koji iznosi Φ = 1,61803398875 ..... Ljudi tvrde da broj Φ pronalazimo na neočekivanim mjestima. Tako je Φ dobio mistični status jer kako ljudi misle da je to što ga pronalazimo na mnogim mjestima nekakav znak, da se ne radi o slučajnosti već o znaku tajne u svemiru. Ali je li zaista tako? Gdje završava istina o Φ i počinje mit?

Objavljeno: 17. Svibanj 2021

U svakodnevnom životu i znanosti, pogotovo kad dođe do neslaganja i prepirke, naglašavamo da je ono što kažemo logično, a sugovorniku predbacujemo da u njegovom rasuđivanju nema logike. Što je ta logika na koju se tako rado volimo pozivati?

Objavljeno: 10. Svibanj 2021

Leptirov učinak je ideja da mali uzroci kao što je zamah krila leptira u Brazilu imaju velike posljedice, nastanak uragana u Meksičkom zaljevu. Također, leptirov učinak nadahnuo je mnoge stvaratelje u svim umjetnostima. U popularnoj kulturi značenje leptirovog učinka svodi se na to da mala, čak i najmanja odluka koju donesemo može imati velike posljedice kasnije u našim životima. Razlog zbog kojih taj novi znanstveni fenomen fascinira mnoge jest vjerojatno pitanje koje postavlja: ''Koliko dobro uopće možemo predvidjeti budućnost?''

Objavljeno: 02. Svibanj 2021

Danas vam želimo pokazati kako se neke stvari koje se prvotno čine nemogućima zapravo mogu dogoditi. Mala je vjerojatnost da nas pogodi grom, a još manja da osvojimo na lutriji. Bez obzira na to, postoje ljudi koje je grom udario više puta, ali i oni koji su osvojili na lutriji dva puta. To nikako ne znači da se trebate bojati da će vas udariti grom ili kockati nadajući se da ćete osvojiti na lutriji, jer je i dalje jako mala vjerojatnost da se to dogodi. Međutim, vjerojatnost nije nešto što intuitivno i lako shvaćamo pa ćemo vam na slijedećim primjerima pokazati kako se lako možemo zavarati i pomoći vam da razlikujete ljudsku od matematičke intuicije.

Objavljeno: 24. Travanj 2021

Od brojanja do diferencijalnog računa. Razvoj matematike je od posve primitivnog brojanja na prste dosegnuo usavršavanje vrsnih alata kojima možemo predvidjeti gibanja tijela i kojima smo naposlijetku razvili računala. Kako smo uspijeli od gradnje piramida razviti znanje za stvaranje interneta? Možemo zahvaliti našim pretcima koji su još u antici počeli razmišljati o svijetu i razvili matematiku, jezik svih znanosti.

Objavljeno: 19. Travanj 2021

Ovaj blog će razmotriti koncept dijeljenja s nulom, odnosno objasniti što bi zapravo značilo podijeliti neki konkretan broj s nulom i približiti neke matematičke ideje kojima možda možemo takvom dijeljenju pridružiti neki rezultat koji bi imao smisla.

Objavljeno: 13. Travanj 2021

Matematika je jedan od predmeta koji ima jako lošu reputaciju. U prilog tomu ne idu ni rezultati posljednjeg istraživanja provedenog na globalnoj razini gdje je Hrvatska pokazala loše rezultate. Da bismo mogli pomoći učenicima da ostvare bolje rezultate na testovima i uspješno savladavaju gradivo, moramo razumjeti zašto učenici imaju poteškoća s matematikom. To nije jednostavno pitanje jer postoji velik broj različitih faktora koji utječu na razvoj matematičkih sposobnosti kod čovjeka. Također je važno razumjeti da su općenito životne sposobnosti i vještine vrlo povezane s matematičkim sposobnostima, pa tako naprimjer netko tko ima poteškoća s organiziranjem bilo stvari u prostoru ili svoga vremena će vjerojatno imati sklonost da se zapetlja u koracima kad rješava neki matematički problem i slično. Naravno, neke matematičke vještine su usko vezane za matematiku.

Objavljeno: 13. Travanj 2021

Dijagram je grafički prikaz podataka koji se koristi da bi olakšao razumijevanje velikih skupova podataka i prikazao odnose među njima. Ljudima je lakše velike skupove podataka vidjeti na slici nego kao velike nizove brojeva. Ipak, istraživanja pokazuju da većina ljudi ima problema s čitanjem i analiziranjem dijagrama. Tu činjenicu često iskorištavaju političari i reklame te nas manipuliraju tumačenjima dijagrama. Zamislimo da političar nešto tvrdi i da svoju tvrdnju potkrijepljuje dijagramom. Možda bismo na prvu odmahnuli glavom na političarevu tvrdnju, ali dijagram nas uvjerava u njegove riječi zato što prikazuje brojeve dobivene računom. Na prvu izgleda kao da je dijagram u skladu s političarevim riječima, ali kada bismo pomnije obratili pažnju, mogli bismo vidjeti da nam on pokazuje ono što želi da vidimo. U ovom ćemo blogu na ematematici razjasniti kako se koriste dijagrami da biste bili u sposobni prepoznati one koje nas mogu zavarati.

Objavljeno: 10. Travanj 2021

Što galaksije, oblaci, živčani sustav i planinski lanci imaju zajedničko? Svi sadrže beskonačne uzorke znane kao fraktali. Geometrija je grana matematike koja proučava veličine, oblike i dimenzije stvari. Da bismo spoznali stvari, želimo opisati njihov oblik, veličinu i dimenziju. Preko dvije tisuće godina geometrija se zasnivala na Euklidovoj zamisli. Oblici koje smo poznavali i kojima smo opisivali prirodu su točka, pravac, kružnica, trokut, kugla, stožac... Ali oblaci nisu kugle, planina nije stožac niti munja putuje po pravcu. Fraktalna geometrija je geometrija prirode, mlada grana matematike utemeljeljena tek u prošlom stoljeću.

Objavljeno: 01. Travanj 2021

Rođenje ideje broja skrivena je u dalekoj prošlosti naših predaka. Antropolozi smatraju da nema kulture u povijesti koja nije razvila potrebu za brojanjem. Naši su pretci trebali obilježiti broj stoke, predmeta razmjene te bilježiti prolazak vremena. Obilježavanje broja, veličine, poretka i oblika slijedi iz ljudske potrebe za komunikacijom i trgovinom. Razvoj brojanja počinje otkad su naši pretci živjeli samački lovačko-sakupljački život u paleolitiku te se nastavlja prelaskom na proizvodnju hrane i stvaranja zajednica u neolitiku, a naposlijetku formiranjem drevnih civilizacija. Brojanje i brojevni sustavi napredovali su od urezivanja oznaka na predmete i brojanja na prste prije više od 40 000 godina do korištenja skupa simbola i pravila kojima danas možemo zapisati svaki zamislivi broj

Objavljeno: 28. Ožujak 2021

U današnjem blogu, motivirani pandemijom koronavirusa, donosimo Vam neke zanimljive rezultate iz teorije vjerojatnosti koji su povezani s testovima na neke zarazne bolesti. Promotrimo sljedeći problem:

Laboratorijski krvni test je 95% učinkovit u otkrivanju konkretne bolesti kada je ta bolest prisutna. Test također ukazuje na bolest i u 1% slučajeva kada je osoba zdrava. Poznato je da 0.1% populacije ima tu bolest. Kolika je vjerojatnost da slučajno odabrana osoba ima tu bolest ako je rezultat testa pozitivan?

Objavljeno: 27. Ožujak 2021

U ovom blogu donosimo jedan poznati vjerojatnosni problem poznat pod nazivom "Monty Hall problem". Problem je ime dobio po američkom TV voditelju Monty Hallu koji je u jednom od svojih kvizova uklopio problem koji ćemo u nastavku predstaviti.

Objavljeno: 26. Ožujak 2021

Zamislimo da negdje u Svemiru postoji hotel s beskonačno mnogo soba koje su numerirane brojevima 1,2,3,... Također, zamislimo da su sve sobe zauzete gostima (u smislu, za svaki prirodni broj n, soba n je zauzeta). Takav hotel u nastavku teksta zovemo Hilbertov hotel.

U nekom trenutku na recepciju hotela dolazi još jedan putnik koji želi sobu. Recepcionar mu mora osigurati slobodnu sobu u hotelu, inače će dobiti otkaz. Na koji način to može provesti? Jedno od rješenja je sljedeće: gosta iz sobe 1 ćemo prebaciti u sobu 2, gosta iz sobe 2 u sobu 3, ... Preciznije, gosta iz sobe n ćemo prebaciti u sobu n+1. Na taj način, soba 1 je postala slobodna i u nju ćemo smjestiti novog gosta.

Objavljeno: 25. Ožujak 2021

Koliko ste puta čuli ili sami izgovorili rečenice poput: „Matematika je preteška za mene“, ili možda „Ja nikada neću razumjeti matematiku“. Ponekad i roditelji kažu nešto poput: „Ni meni nije išla matematika pa mi je jasno zašto ne ide ni mojoj djeci.“ Čini se kao da se ljudi mogu savršeno podijeliti na one kojima matematika ide jako dobro i one koji imaju dosta problema u razumijevanju osnovnih matematičkih koncepata.

Objavljeno: 22. Ožujak 2021

Sama riječ simetrija vuče korijene iz stare Grčke i kovanica je dvaju pojmova sym i metria što možemo prevesti kao 'ista mjera'. Već tada se taj pojam simetrije povezivao s ljepotom što možemo vidjeti u djelima poznatih grčkih mislilaca Aristotela i Platona. Zanimljive su Aristotelove riječi : 'Vodeće forme ljepote jesu uređen raspored, razmjer[simetrija], i određenost što ih otkrivaju posebice matematičari'. Tadašnji pojam simetrije više bi odgovarao današnjim shvaćanjima proporcija, odnosno razmjera. O tome su posebno vodili računa projektanti i graditelji grčkih hramova. Slijedeći te grčke principe, o odnosu simetrije i proporcija pisao je i poznati rimski arhitekt Vitruvije: 'Nacrt hrama ovisi o simetriji, načelima koje arhitekt mora vrlo pozorno i pomno promatrati. Ona su tu zahvaljujući proporciji. 'Proporcija je podudaranje među mjerama članova cjelovitog djela i cjeline do određenog dijela odabrana za standard'. Današnje shvaćanje simetrije, jednostavnim rječnikom mogli bismo reći: 'Neka stvar je simetrična ako postoji nešto drugo čime joj možete nešto učiniti tako da, nakon što s time završite, ona izgleda isto kao i prije.

Objavljeno: 22. Ožujak 2021

Što znači kada kažemo da je broj prost? Definicija prostog broja glasi: Broj p je prost ako je iz skupa prirodnih brojeva i ima točno dva djelitelja, broj jedan i sebe. Koji su brojevi prosti? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... Prirodni brojevi koji su veći od broja 1, a nisu prosti brojevi nazivaju se složenim brojevima. Složeni brojevi mogu se napisati kao umnožak barem 3 broja. Promotrimo broj dva, jedini parni broj koji je ujedno i prost. Broj dva djeljiv je u skupu prirodnih brojeva sa samim sobim 2:2 = 1 i s brojem jedan 2:1 = 2. Idući parni broj 4 već nije prost jer jer djeljiv s 1, 2 i 4 (provjerite sami). Kako su parni brojevi djeljivi s brojevima 2, 1 i samim sobom, oni su složeni brojevi.

Objavljeno: 18. Ožujak 2021

Ovaj pradavni matematički sustav datira iz staroindijskih spisa poznatih pod nazivom "Vede" (što prevedeno znači - znanje). eMatematika u nastavku teksta donosi neke vedske metode množenja prirodnih brojeva. Preporuka je da prvo pažljivo pročitate objašnjenje metode, zatim ga vizualizirate naslovnom slikom i onda krenete na proučavanje primjera. Nakon toga, pokušajte samostalno riješiti dani zadatak, a lako ga možete provjeriti na kalkulatoru. U konačnici, cilj je da naučite množiti brojeve bez iti jedne zapisane linije. Pa, krenimo:

Objavljeno: 07. Veljača 2021

Za maturu iz matematike možemo reći da je jedan je od završnih ispita čijim polaganjem gimnazijalci potvrđuju da imaju zadovoljavajuće znanje iz matematike stečeno srednjoškolskim obrazovanjem. Matematika je jedan od tri glavna predmeta koja se polažu na maturi te stoga učenik može odabrati hoće li je polagati na višoj ili nižoj razini.

Objavljeno: 11. Siječanj 2021

Nogomet je najvažnija sporedna stvar na svijetu, barem tako kažu. Igra koja korijene vuče iz Engleske najednom je postala planetarno popularna i urezala se u srca ljudi širom svijeta. S vremenom je nogomet postao najpopularniji sport, stil života, nastajali su klubovi, gradili se stadioni, osnivale navijačke skupine, ... - nogomet je jednostavno postao puno više od igre.

Objavljeno: 15. Prosinac 2020

Ako želite čuti kako zvuči uglazbljen broj π pritisnite ovdje!

Objavljeno: 04. Prosinac 2020

Mnogo učenika ne voli matematiku. Smatraju je dosadnom, napornom ili nepotrebnom, izbjegavaju je učiti te se boje ići na instrukcije jer ne žele pokazati svoje ‘neznanje’. Istina je da matematika nekima ide lakše i takvi je uglavnom vole, dok nekima ide nešto teže i treba im više vremena da je usvoje. Je li moguće da je matematika toliko strašna i nerješiva? Zašto netko lako niže odlične ocjene, a netko nikako da je savlada? Zašto se toliko bojimo matematike i kakve veze ima rješavanje zadataka s rješavanjem sudokua?

Objavljeno: 04. Prosinac 2020

Mislim da ne postoji učenik koji u periodu svog obrazovanja nije neko gradivo naučio napamet, jer je bilo lakše pamtiti nego otpetljavati zamršenu mrežu slova i brojeva koji tek ispravno posloženi u glavi daju smisao naučenom. U našem mozgu, pri učenju matematičkih formula mora postojati smislena veza između brojki, slova i riječi koju pokušavamo primijeniti na neki zadatak.

Objavljeno: 01. Prosinac 2020

Fizika je jedna od najistaknutijih znanosti u kojima matematika ima ogroman utjecaj. Razvoj derivacija, integrala i općenito, matematičkog računa, otvorio je cijeli paket novih spoznaja. U ljudskoj je naravi znatiželja, proučavanje i shvaćanje okoline i njenih zakonitosti, a upravo to je jedna od glavnih zadaća fizike.

Objavljeno: 07. Studeni 2020

Harry Potter i Ron Weasley jako su se mučili s predmetom „Čarobni napitci“ jer ga je predavao profesor kojega nisu voljeli, analogno s tim, i predmet im je bio omražen.

Objavljeno: 05. Studeni 2020

Google Meet besplatna je aplikacija za održavanje video poziva i vrlo je jednostavna za korištenje. Poziv se uspostavlja tako da jedna strana započne sastanak preko linka https://apps.google.com/meet/ ili aplikacije. Za pristup sastanku potrebno je samo upisati ime ili nadimak

Objavljeno: 30. Listopad 2020

Kako funkcioniraju online instrukcije iz matematike? Jesu li one jednako kvalitetne kao i one kontaktne? Koje su prednosti takvog održavanja? Koliko je zahtjevna njihova realizacija?

Objavljeno: 23. Listopad 2020

Učenici koji su uspješno savladali školsko gradivo iz matematike, a pritom im se to isto gradivo i nije činilo suviše teško i naporno idealni su kandidati za natjecanja iz matematike.

Objavljeno: 21. Listopad 2020

Ako nešto ne razumijete, usredotočite se na svladavanje teme prije nego što prijeđete na slijedeću.

Objavljeno: 28. Rujan 2020

Isporuka instrukcije iz matematike putem interneta može se na početku činiti čudnim konceptom, ali s novom tehnologijom i fleksibilnošću koje pruža školovanje na mreži, svakodnevno gledamo sve više lekcija i instrukcija na mreži.

Objavljeno: 19. Rujan 2020

Gradiva iz matematike mogu biti teška tema s kojom se treba nositi, zbog čega smo sastavili neke stvari koje smo naučili od naših najboljih instruktora tijekom godina.

Objavljeno: 13. Rujan 2020